Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями
§2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями
1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . .
1.3. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью
§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя
2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .
2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями
2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения
§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение

Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли.
Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо
Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.
Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-
1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Глава I. Правильные конечные цепные дроби.

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями.

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел [pic], называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.
Пусть [pic] - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм
Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

[pic] где неполным частным последовательных делений [pic] соответствуют остатки
[pic] с условием b>[pic]>[pic]>…>[pic]>0, а соответствует остаток 0.
Системе равенств (1) соответствует равносильная система

[pic] из которой последовательной заменой каждой из дробей [pic] и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби [pic] в виде:

[pic]

[pic]

[pic]
Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что [pic] – целое число, а
[pic], …, [pic] - натуральные числа.
Имеются различные формы записи цепных дробей:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]