Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic]

Согласно последнему обозначению имеем

[pic]
Числа [pic], [pic], …, [pic] называются элементами цепной дроби.
Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.
Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.
Разложение рационального числа [pic] имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.
Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было [pic].
Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что [pic].
Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при [pic]:

[pic] так что представление можно удлинить:

[pic] например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).
2) Принимая условие [pic], можно утверждать, что целая часть цепной дроби
[pic] равна ее первому неполному частному [pic]. В самом деле:

1. если n=1, то

2. если n=2, то [pic]; поэтому [pic]

3. если n>2, то

[pic]=[pic]

[pic]

[pic], где [pic] >1, т.к. [pic]

[pic]

[pic]
Поэтому и здесь [pic]. Докажем то, что рациональное число [pic] однозначно представляется цепной дробью [pic], если [pic].
Пусть [pic] с условием [pic], [pic]. Тогда [pic], так что [pic]. Повторным сравнением целых частей получаем [pic], а следовательно [pic] и так далее.
Если [pic], то в продолжении указанного процесса получим также [pic]. Если же [pic], например [pic], то получим [pic], что невозможно.

Теорема доказана.
Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия [pic] между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.
Замечания:

1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент

[pic], например, [pic].

2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.
Пример: [pic], а так как [pic], то [pic].

3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.
Пример: 5=(5); [pic].

§2. Подходящие дроби. Их свойства.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби [pic] в простую дробь [pic].
При этом основную роль играют дроби вида:
[pic] или
[pic] которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа [pic].
Заметим, что [pic]=[pic]=[pic]. Считается, что подходящая дробь [pic] имеет порядок k.
Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что [pic] переходит в [pic], если в первой заменить [pic] выражением [pic].
Имеем [pic],
[pic],
[pic], …, при этом принимается, что [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] и так далее.
Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для [pic] (ее числителя [pic] и знаменателя [pic]), сохраняется при переходе к [pic] и сохранится также при переходе от k к (k+1).
Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где
[pic], имеем

[pic] (1), причем [pic] (2)

[pic] (3)
Далее, говоря о подходящих дробях [pic] (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму [pic].
Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают.
Последовательное вычисление числителей [pic] и знаменателей [pic] подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:
| | |[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|
|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|
|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).
| |2 |2 |1 |3 |1 |1 |4 |3 |
|[pic] |2 |5 |7 |26 |33 |59 |269 |866 |
|[pic] |1 |2 |3 |11 |14 |25 |114 |367 |

Подходящие дроби [pic]([pic]) равны соответственно [pic]; [pic]; [pic];
[pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic].
Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для [pic]=(2, 3, 1, 4, 2)
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].
А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

1. Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство [pic]
Доказательство: Проведем индукцию по k:
При k=1 равенство справедливо, так как [pic] [pic].
Пусть это равенство верно при некотором k=n ([pic]).
Докажем справедливость равенства при k=n+1.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата