Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic]

[pic]
, то есть равенство верно при k=n+1.
Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k([pic]).

2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.
Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем [pic].
Пусть [pic], то есть [pic], тогда из равенства [pic] следует, что [pic] делится на [pic] без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть [pic].

3. Теорема: При [pic]

1) [pic] ([pic])

2) [pic] ([pic])
Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства [pic], доказанного выше, путем деления обеих частей на [pic]. Получаем [pic]
[pic], что и требовалось доказать.
Докажем второе соотношение.

[pic]

[pic].

Теорема доказана полностью.

4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=[pic].
Доказательство: [pic], [pic], так что [pic] и [pic] положительны.
Соотношение [pic] ([pic]) (*) показывает, что и все следующие знаменатели
[pic], [pic], …, [pic] положительны. При [pic], поскольку тогда [pic], из
(*) получаем

[pic], что и требовалось доказать.

5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:

[pic];

[pic].
Две подходящие дроби [pic] и [pic], у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.

6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.
Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:

[pic].
Если k – четное, то [pic]

[pic]
Если k – нечетное, то [pic]

[pic]
Значит, из двух соседних дробей [pic] и [pic] четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.

7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями [pic].
Доказательство: Так как [pic], то [pic], что и требовалось доказать.

Глава II. Бесконечные цепные дроби.

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.

1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь [pic] разлагается в конечную непрерывную дробь.
[pic][pic] =([pic])

[pic] (1)

[pic] и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.
Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.
Для иррационального числа [pic] указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.
Выражение [pic] (где [pic], [pic]) (2)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата