Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic], так как 24·179>1000.
Ответ: [pic].

d) [pic]=[pic]; [pic]=1
[pic];
[pic];
[pic];
[pic][pic]=((1, 2))
| |1 |2 |1 |2 |1 |2 |1 |2 |1 |
|[pic]|1 |3 |4 |11 |15 |41 |56 |153 | |
|[pic]|1 |2 |3 |8 |11 |30 |41 |102 | |

[pic], так как 30·41>1000.
Ответ: [pic].

7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Решение: a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь.
[pic]

[pic], то есть [pic], где
[pic]

[pic] x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение, начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:
[pic]

[pic], то мы можем записать x=(3, 2, 1, x)= [pic]=[pic], после чего приходим к квадратному уравнению относительно x: [pic]
[pic]
D=64+12·7=148 [pic].
Положительное решение и есть x. [pic]. Найдем [pic].
[pic]=4+[pic]=[pic]
Ответ: [pic].

b) ((2, 1))=[pic]
[pic] [pic]=(2, 1, [pic])

[pic]
Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:
| |2 |1 |[pic] |
|[pic] |2 |3 |3[pic]+2 |
|[pic] |1 |1 |[pic]+1 |

[pic]=[pic]

[pic]

D=4+4·2=12

[pic]
Положительное решение и есть искомое [pic].
Ответ: [pic].

8. Решить в целых числах уравнения: a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.
Решение: a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение.
(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)
[pic]уравнение решений не имеет.
Ответ: [pic]. b) 2x+5y=7
(2, 5)=1 [pic]уравнение имеет решение в целых числах.
Разложим [pic] в цепную дробь. [pic]=(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. [pic]; [pic]; [pic]
На основании свойства подходящих дробей [pic] получим
2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1 [pic]
2·(-14)+5·7=7, то есть [pic] [pic] – частное решение.
Все решения могут быть найдены по формулам

[pic] или [pic]

c) 23x+49y=53
(23, 49)=1 [pic] существуют целые решения.
[pic]=(0, 2, 7, 1, 2)
[pic], [pic], [pic], [pic], [pic]
17·23-8·49=(-1)5
23·17+49·(-8)=-1 [pic]
23·(-901)+49·424=53
[pic] [pic]
[pic] или [pic]

9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе – 17.

Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0.
Тогда 11x+17y=150
(11, 17)=1[pic]существуют решения.
(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)
| |0 |1 |1 |1 |5 |
|[pic] |0 |1 |1 |2 |11 |
|[pic] |1 |1 |2 |3 |17 |

11·3-2·17=(-1)5=–1
11·3+17·(-2)=-1 [pic]
11·(-450)+17·300=150 x=-450+27·17=9[pic]99 - первое число y=300-11·27=3[pic]51 - второе число.
Ответ: 99; 51.

10. Решить уравнения Пелля: a) [pic] b) [pic]
Решение: a) [pic]
Представим [pic] в виде цепной дроби:
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]=(5, (10)).
Количество чисел в периоде нечетное (одна) [pic][pic]=(5; 10)=[pic].
[pic] - наименьшее положительное решение.
Ответ: x=51, y=10.

b) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic] [pic]=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))
Количество чисел в периоде четное (шесть)
| |4 |2 |1 |3 |1 |2 |
|[pic] |4 |9 |13 |48 |61 |170 |
|[pic] |1 |2 |3 |11 |14 |39 |

[pic]
Ответ: x=170, y=39.

Заключение
Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.
Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.
Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:
[pic] ([pic]).
Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.
В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Литература:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата