Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic]

[pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], …
Эта цепная дробь для [pic] была найдена еще более 300 лет назад английским математиком Брункером.

[pic]

[pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]
В 1776 году И. Ламберт нашел разложение tg x в цепную дробь: tg x=[pic]
А. Лежандр в предположении, что эта цепная дробь сходится, показал, что ее значение для рациональных значений x иррационально. Принято считать, что тем самым была доказана иррациональность числа [pic].
Л. Эйлер нашел, что: [pic]=(1; 6, 10, 14, …). Также Эйлер нашел разложение в цепную дробь числа e. e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), то есть элементы [pic] разложения e в цепную дробь имеют вид:

[pic], [pic], [pic]
Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) нашел разложение числа [pic] в виде цепной дроби.
Первые 25 неполные частные разложения числа [pic] в правильную цепную дробь есть числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84,
2, 1, 1.

Решение задач

1. Записать в виде конечной цепной дроби a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]2,98976; d) [pic]
Решение: a) [pic]=(0, 2, 15); b) [pic]=(3, 7, 15, 1, 292); c) 2,98976=[pic]=(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10); d) [pic]=–(2, 1, 30, 2)=(-2, 1, 30, 2)

2. Разложить простую дробь в цепную дробь и найти ее подходящие дроби. a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]; d) [pic]

Решение: a) [pic]=(3, 2, 1, 24);
Находим подходящие дроби:
| | |3 |2 |1 |24 |
|[pic] |1 |3 |7 |10 |247 |
|[pic] |0 |1 |2 |3 |74 |

[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] b) [pic]=(3, 3, 33);
| | |3 |3 |33 |
|[pic] |1 |3 |10 |333 |
|[pic] |0 |1 |3 |100 |

[pic]=[pic]; [pic]=[pic] c) [pic]=[pic]=(3, 7, 15, 1, 292);
| | |3 |7 |15 |1 |292 |
|[pic] |1 |3 |22 |333 |355 |103993 |
|[pic] |0 |1 |7 |106 |113 |33102 |

[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; d) [pic]=(0, 2, 2, 3);
| | |0 |2 |2 |3 |
|[pic] |1 |0 |1 |2 |7 |
|[pic] |0 |1 |2 |5 |17 |

[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic].

3. Сократить дробь a)[pic]; b)[pic]; c)[pic]
Решение: a)[pic];
Разложим ее в конечную цепную дробь и найдем последнюю подходящую дробь для нее.
[pic]=(4, 1, 1, 6)
[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]
Дробь [pic] несократима и [pic]=[pic]. b)[pic]=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2)
[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic];
[pic]=[pic]; [pic]=[pic]
Дробь [pic] несократима [pic][pic]=[pic]. c)[pic]=(1, 1, 2, 2, 32)
[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] - несократима
[pic][pic]=[pic].

4. Найдите первые четыре подходящие дроби разложения в цепную дробь числа
[pic]=3,14159265…
[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]
Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic].

5. Преобразуйте в обыкновенную дробь следующие цепные дроби: a) (2, 1, 1,
2, 1, 6, 2, 5); b) (2, 3, 1, 6, 4); c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5); d) (0, 3, 1, 2, 7).
Решение: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5)=[pic]
Составим таблицу подходящих дробей:
| |2 |1 |1 |2 |1 |6 |2 |5 |
|[pic] |2 |3 |5 |13 |18 |121 |260 |1421 |
|[pic] |1 |1 |2 |5 |7 |47 |101 |552 |

Ответ: [pic]=[pic] b) (2, 3, 1, 6, 4)= [pic]
| |2 |3 |1 |6 |4 |
|[pic] |2 |7 |9 |61 |253 |
|[pic] |1 |3 |4 |27 |112 |

Ответ: [pic]=[pic] c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)
| |1 |3 |2 |4 |3 |1 |1 |1 |5 |
|[pic]|1 |4 |9 |40 |129 |169 |298 |467 |2633 |
|[pic]|1 |3 |7 |31 |100 |131 |231 |362 |2041 |

Ответ: [pic]=[pic] d) (0, 3, 1, 2, 7)=[pic]
| |0 |3 |1 |2 |7 |
|[pic] |0 |1 |1 |3 |22 |
|[pic] |1 |3 |4 |11 |81 |

Ответ: [pic]=[pic]

6. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью с точностью до
0,001 следующие числа: a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]; d) [pic].
Решение: a) [pic]=[pic]. Выделим из [pic] его целую часть: [pic], а дробную часть [pic]-2, которая 1000.
Ответ: [pic].

b) [pic]=[pic]; [pic]=5
[pic];
[pic];
[pic];
[pic];
[pic];
[pic].
Мы получили [pic] неполные частные, начиная с [pic] будут повторяться и
[pic]=(5, (1, 1, 1, 10)).
| |5 |1 |1 |1 |10 |1 |… |
|[pic] |5 |6 |11 |17 |181 |198 | |
|[pic] |1 |1 |2 |3 |32 |35 | |

[pic], так как 32·35>1000. Ответ: [pic].

c) [pic]=(3, 2, 5, 2, 7, 2);
| |3 |2 |5 |2 |7 |2 |
|[pic] |3 |7 |38 |83 |619 |1321 |
|[pic] |1 |2 |11 |24 |179 |382 |

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата