Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Рассмотрим решение уравнения

Его общее решение имеет вид . Выписывая систему уравнений

или , (где p=y/)

и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из y=0=const следует y/=0. Кроме того через любую точку M(x0;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из общего при c=-x0. Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x0;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения.

Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения, являющееся семейством парабол.

Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства.

Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y/)=0 не определяло y/ как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие .

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения, выполняется условие . В этом случае уравнение F(x,y,y/)=0 определяет y/ как неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y/=f(x,y) или даже явно выразить y/ через x и y в виде y/=f(x,y). Тогда особое решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3, теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условием или, считая , условием .

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение (сравните с примером 2). Здесь . Так как , то дискретная кривая отсутствует. Из и условия , находим, что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши. Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить, что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее решение данного уравнения имеет вид , т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является особым.

Пример 4. Дано уравнение .

Для него , т.е. дискретной кривой нет. Из и условия , получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Покажем, что . Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x0=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен

.

Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M0(x0, y0). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M0(x0, y0) равен , где уравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c0)=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: собственность реферат, шпаргалки бесплатно скачать.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата