
Дифференциальные уравнения I и II порядка
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: скачать бесплатный реферат без регистрации, реферат на тему русские
| Добавил(а) на сайт: Rafail.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата
Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся осью Ox.
Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно, является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь решением уравнения, она не является его особым решением.
Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.
3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено
в виде или
.
Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде
(отсюда происходит название
данного типа уравнения).
Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.
Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y).
С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например,
если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y
– объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой
от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через
соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией
другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение
отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x),
уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что .
Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая
,
и затем приравнять их H(y)+c1=G(x)+c2 (имея в виду z=H(y)+c1,
z=G(x)+c2, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c1
и c2 обычно берется одна c=c2-c1, и тогда
общее решение дифференциального уравнения записывается в виде
H(y)=G(x)+c.
Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре
.
Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны, уравнение запишем в виде
или
.
Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения:
Приравнивая найденные интегралы получаем
или
,
где c=N(c1-c2). Отсюда далее ,
где
. Так как по смыслу задачи
, то
,
и тогда
. Окончательно общее решение
дифференциального уравнения получает вид
, где
>0.
Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение
не имеет. Однако беря крайние значения для
равные
, получаем кривые x=N и
x=0, являющиеся решениями уравнения, но не особыми.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: собственность реферат, шпаргалки бесплатно скачать.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата