
Дифференциальные уравнения I и II порядка
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: скачать бесплатный реферат без регистрации, реферат на тему русские
| Добавил(а) на сайт: Rafail.
Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата
Найти его частное решение при условии .
Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными
.
Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем
.
Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения
или
.
Используя начальное условие ,
определяем значение константы c для искомого частного решения
.
Искомое частное решение дается уравнением
.
Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .
Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если .
Например, функция является
однородной второй степени. Действительно,
.
Функция
однородная нулевой степени,
так как
.
Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции
от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная
функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем
может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е.
.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0,
называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y)
или ., где f(x,y) – однородная
функция нулевой степени.
Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.
Подставляя в исходное уравнение
и
, получаем уравнение вида
или
, являющиеся с разделяющимися
переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то
y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.
Пример 1. Рассматривается уравнение
(x2-y2)dx+2xydy=0.
Перепишем его в виде . Справа
стоит функция однородная нулевой степени. Действительно,
.
Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением.
Решаем его заменой y=ux. Получаем
или
,
т.е.
.
Разделяя переменные приходим к уравнению
.
Интегрируем левую и правую части этого уравнения:
.
Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u
или
,
где c>0.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: собственность реферат, шпаргалки бесплатно скачать.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата