Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием.

Кривую {t, x(t)} описываемую точкой Pt называют интегральной кривой, а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).

Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:

[pic]

(6)

Т.о., решение системы уравнений (2) [pic] - это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого рода в точках Ft со скачками

[pic]

[pic] - состояние системы до и после скачка в момент времени t1.

В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные поверхности [pic] расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид:

[pic]

(7)

Устойчивость в системах с нефиксированными моментами импульсного воздействия.

Определение 2.

Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t?t0, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел [pic] и
[pic] существует такое число [pic], что для любого другого решения y(t) уравнений (7) из того [pic], что следует, что[pic] при всех t?t0 таких, что
[pic], где [pic] – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей [pic].

Определение 3.

Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число [pic], что для любого другого решения этой системы уравнений, удовлетворяющего неравенству [pic] имеет место предельное равенство: [pic].

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:

[pic]

(8) где [pic] т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8).

Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).

Теорема 3.

Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D неравенствами

[pic] (9) то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.

Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство

[pic] для всех [pic]- непрерывная при [pic] функция, [pic], то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата