Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

[pic], ([pic]),[pic], то решение [pic] асимптотически устойчиво.

Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху функции V(t, x(t)) используют соотношение (3).

Теорема 2.

Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой [pic], то решение [pic] слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).

Доказательство теоремы 2 приведено в [17].

Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова [pic], но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции x(t), значит и для любого решения, сложная функция V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой grad V не существует, и производную dV/dt, нельзя, как в случае [pic], представить в виде

[pic]

Для [pic]:

[pic].
(4)

В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные [pic] от функции V в силу включения (2) можно определить как sup и inf правой части (4) по всем [pic]. Тогда теоремы 1и 2 сохраняются.

Пример 3.

Если [pic], то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt на линиях поверхностях разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А.

[pic]

[pic]

Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные [pic] разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы.
На оси Ox при доопределении А:

[pic]

[pic], и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (4) при h=0:

[pic].

Т.к. на оси Ox имеем [pic], то решения по оси удаляются от точки (0, 0) со скоростью 1 и решение [pic] неустойчиво

§2. Некоторые сведения теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.

Определение таких систем приведено [12], они задаются а) системой диф. уравн.

[pic]

(5) б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве, в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на множество [pic].

Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка [pic], выйдя из точки (t0, x0), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой решением x(t) = x(t, t0, x0) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени t = t1 > t0, в который точка (t, x(t)), встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент времени t = t1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из положения [pic] в положение [pic]и движется дальше по кривой {t, x(t)}, которая описывается решением [pic] системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени t2 > t1, в которой точка Pt снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At точка Pt мгновенно перескакивает из положения [pic] в [pic]и движется дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением [pic] системы уравнений
(1), до новой встречи с множеством Ft и т.д.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата