Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(2)

т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I

[pic].

Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная [pic] может принимать любые значения из некоторого множества [pic].

Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью.
Функцию [pic] называют многозначной функцией, подчеркивая, что значение[pic]- множество. Если для всех (t, x) множество[pic] состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция [pic] называется однозначной в точке [pic], если множество F[pic] состоит из единственной точки.

Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.

А. Выпуклое доопределение.
Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.

Для каждой точки [pic] пусть [pic]- наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции[pic], когда
[pic] [pic] Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным [pic]. Т.к. [pic]- множество меры нуль, то при почти всех [pic] мера сечения множества [pic] плоскостью [pic] равна нулю. При таких [pic] множество [pic] определено для всех [pic][pic]. В точках непрерывности функции [pic] множество [pic] состоит из одной точки [pic] и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка
[pic][pic] лежит на границах сечений двух или нескольких областей [pic],
…, [pic] плоскостью [pic], то множество [pic] есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами [pic][pic], [pic], где

[pic][pic]= [pic][pic].

Все точки [pic][pic] ([pic]= 1, … , [pic] содержатся в [pic], но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.

Определение 3.

Вектор-функция [pic], определенная на интервале [pic] называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех [pic] для любого [pic] вектор [pic] принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству ([pic]-мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции [pic], когда [pic] пробегает почти всю [pic]- окрестность точки [pic] в пространстве X (при фиксированном [pic]), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.

Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.

Рассмотрим случай, когда функция [pic] разрывна на гладкой поверхности
[pic], задаваемой уравнением [pic]. Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области [pic]и [pic]. Пусть при [pic] и приближении [pic] к
[pic]из областей [pic] и [pic] функция имеет предельные значения

[pic][pic]

Тогда множество [pic], о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов [pic] и [pic], проведенных из точки
[pic].

(Если этот отрезок при [pic] лежит по одну сторону от плоскости [pic], касательной к поверхности [pic] в точке, то решения при этих [pic] переходят с одной стороны поверхности [pic] на другую:

Рис. 1.

(Если этот отрезок пересекается с плоскостью [pic], то точка пересечения является концом вектора [pic], определяющего скорость движения

[pic]

(3) по поверхности [pic] в пространстве [pic]:

Рис. 2.

Причем касательный вектор к S [pic], следовательно [pic]. Это значит, что функция [pic], удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция [pic], которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области [pic](или в [pic]) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности [pic]и удовлетворяет уравнению
(3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А.

В уравнение (3) [pic],

[pic] , ( [pic]),
[pic] - проекции векторов [pic] и [pic] на нормаль к поверхности [pic] в точке [pic] (нормаль направлена в сторону области [pic]).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата