Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок
J:

Рис. 3.

При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от
[pic]; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения.

Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения.

(Если весь отрезок с концами [pic] и [pic] лежит на плоскости P, то скорость движения [pic] по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.

При [pic], [pic]имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя
[pic] для [pic] из условия [pic], находим уравнение

[pic], (4) с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме
(начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е.
S(x(0))=0).

Пример 3.

Решить систему

[pic]

Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую [pic]и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси [pic], то в окрестности этой точки вектор [pic], компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: [pic]при [pic], [pic](6,-2) при [pic]. Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ:

Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора [pic] для точки М. В то же время вектор скорости [pic] должен лежать на оси [pic]. Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси [pic]. Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что
[pic]

Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение [pic] в точке разрыва [pic] некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым.
Кроме этого оно должно включать все предельные значения [pic]при (t, x)[pic]. После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функция[pic] удовлетворяет перечисленным требованиям.

Однако, в некоторых случаях множество [pic] в (2) в точках разрыва функции [pic] нельзя определить, зная только значения функции [pic] в точках ее непрерывности.

Пример 4.

В механической системе с сухим трением:

[pic],

[pic]масса тела, [pic]его отклонение, [pic]упругая сила, [pic]сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при [pic]=0 функцией скорости
[pic], [pic]-внешняя сила. Трение покоя [pic] может принимать любые значения между своим наибольшим и наименьшим значениями [pic] и -[pic].
Если [pic]=[pic][pic], то применимо доопределение [pic]. Если же
[pic]>[pic][pic], то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины
[pic]. Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество [pic] при [pic]– точка, а при v=0
– отрезок, длина которого зависит от [pic].

Следовательно, множество [pic] не всегда определяется предельными значениями функции [pic]из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.

Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F(t,x).

Рассмотрим систему

[pic],

(6)

где [pic], вектор-функция [pic] непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции [pic] разрывны соответсвенно на множествах [pic], i=1,…,r, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции [pic]задается замкнутое множество [pic]- множество возможных значений аргумента [pic] функции
[pic]. Предполагается, что при [pic] аргументы [pic]и [pic]могут независимо друг от друга пробегать соответственно множества [pic]и [pic]. Обычно, это условие выполнено, если функции [pic]и [pic] описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция [pic] непрерывна, множество [pic] состоит из одной точки [pic]. В точках, разрыва функции [pic] необходимо, чтобы множество [pic] содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида [pic], где [pic] k=1,2,…(или [pic], где [pic][pic] k=1,2,…). Потребуем, чтобы множество [pic] было выпуклым (если [pic] - скалярная функция, то [pic]- отрезок или точка).

Пусть

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата