Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Определение1. Решением дифференциального уравнения

[pic]= [pic]

с непрерывной правой частью называется функция [pic], которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.

Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры.

Пример 1.

[pic][pic]
При [pic][pic] [pic]=-1 и решение выражается формулой [pic];

при [pic][pic][pic], решение [pic]:

Исходя из требования непрерывности решения при [pic]:

x(0)=[pic],
[pic]. Поэтому решение выражается формулой [pic]. При [pic] производной
[pic] не существует.

Пример 2.
[pic][pic]
При [pic] [pic]3, решение [pic], при [pic] [pic], решение [pic]: x

При возрастании [pic] каждое решение доходит до прямой [pic]0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой [pic]0 ни вверх, ни вниз.
Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция [pic] не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее[pic], а правая часть уравнения при [pic] равна 1-sign 0=1[pic]0.

Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению

[pic]

В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):

S

Решение x(t) попадающее при [pic] на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения [pic] и близкие к [pic]; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).

В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).

Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.

§2. Определения решения.

Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи

[pic],

(1) с кусочно-непрерывной функцией f в области G;[pic], [pic], M – множество
(меры нуль) точек разрыва функции f.

Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки [pic] области G указывается множество [pic] в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество [pic] состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же [pic]-точка разрыва функции f, то множество [pic] задается тем или иным способом.

Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения

[pic],

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата