Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы

[pic].

(1)

Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф. включениям

[pic]

(2)

Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость.

Определение 1.

Решение [pic] дифференциального включения (2) называется устойчивым
(соответственно слабо устойчивым), если для каждого [pic] существует такое
[pic], что для каждого такого [pic], что [pic], каждое решение
(соответственно некоторое решение) [pic] с начальным условием [pic] при
[pic] существует и удовлетворяет неравенству

[pic] ([pic]).

Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием [pic]

Пример 1.

[pic]([pic]). Решение [pic]асимптотически устойчиво. При [pic] любое другое решение достигает положения равновесия x=0 за конечное время, а при
[pic] за бесконечное время.

Пример 2.

[pic], F(x) – отрезок с концами kx и mx. [pic]- решение. Для других решений имеем

[pic]
При [pic] асимптотически устойчиво, при [pic] устойчиво, при [pic] слабо асимптотически устойчиво, при [pic] неустойчиво.

Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы
Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе
[17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать [pic].

Для функции [pic] (т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):

[pic]

При почти всех t производная [pic]существует и удовлетворяет включению
(2). При этих t существует

[pic] (3)

Теорема 1.

Пусть в замкнутой области D ([pic]) для всех [pic] - непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция [pic]-непрерывна по t, x; [pic] и существуют функции [pic], для которых[pic].

Тогда:
1) Если [pic] в D, то решение [pic] включения (2) устойчиво.

2) Если, кроме того, существуют функции [pic] [pic] причем [pic],

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата