Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic],

Где Z1, Z2,..., ZK – некоторые различные комплексные числа, а a1,a2,...,ak – натуральные числа, причем: a1 + a2 + ... + ak = n

Отсюда следует, что числа Z1, Z2,..., ZK являются корнями уравнения 9.
При этом говорят, что Z1 является корнем кратности a1, Z2 – корнем кратности a2 и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения an(Zn + an–1(Zn–1 +...+ a1(Z1 + a0 = 0 с целыми коэффициентами. Тогда an(kn + an–1(kn–1 +...+ a1(k1 + a0 = 0 a0 = – k(an(kn–1 + an–1(kn–2 +...+ a1)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a0.

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число,

Z – неизвестное.

0. не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)((– a) = i2([pic]= i2(([pic])2. Тогда уравнение Z2 = a запишется в виде: Z2 – i2(([pic])2 = 0 т.е. (Z – i([pic])(Z + i([pic]) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = [pic] i([pic]

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами a(Z2 + b(Z + c = 0

По известной общей формуле

Z1,2=[pic] (10)

Итак, при любых действительных a(a[pic]0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b2 – 4(a(c положителен , то уравнение a(Z2 + b(Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a(Z2 + b(Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a(Z2 + b(Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения a(Z2 + b(Z + c = 0, a[pic]0.
Тогда справедливы свойства:
Теорема Виета: Z1 + Z2 = –[pic]

Z1(Z2 = [pic]

2. При всех комплексных Z справедлива формула a(Z2 + b(Z + c = a((Z – Z1)((Z – Z2)

Пример 5:
Z2 – 6·Z + 10 = 0
Д = b2 – 4·a·c
Д = 62 – 4·10 = – 4
– 4 = i2·4
Z1,2 = [pic]
Z1,2 =[pic]
Ответ: Z1 = Z2 = 3 + i

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать шпоры по праву, шпоры по химии.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата