1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы
А=[pic]. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.

Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен.

Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.

Пусть

[pic] – (1) характеристический многочлен.

Заменяя в выражении (1) величину [pic] на [pic], получим

[pic]. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор

[pic]. (3)

Умножим обе части выражения (2) на [pic]:

[pic] (4)

Положим

[pic], (5) т.е.

[pic] (6)

Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде

[pic], (7) или в виде

[pic]

Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то ее корни [pic] являются коэффициентами характеристического многочлена (1).

Если известны коэффициенты [pic] и корни [pic] характеристического многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы по следующей формуле:

[pic] (8)

Здесь [pic] – векторы, использованные при нахождении коэффициентов
[pic] методом Крылова, а коэффициенты [pic] определяются по схеме Горнера

[pic] (9)

Используя все выше сказанное, развернем характеристический определитель матрицы А=[pic] методом Крылова.

Выберем в качестве начального следующий вектор:

[pic], [pic]