Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



П р и м е р 2. Принцип Кавальери для плоских фигур – принцип
Кавальери для пространственных фигур.

Итальянский математик Бонавертура Кавальери (1598 – 1647) в своем основном труде «Геометрия» (1635) развил новый метод определения площадей и объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми он называл параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Б. Кавальери доказал теорему, согласно которой площади двух подобных фигур относятся, как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих неделимых. Эта теорема вошла в математику под названием принципа Кавальери.
Приведем его формулировку.

Д л я п л о с к о с т и. Если две фигуры могут быть перемещены в такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить два параллелограмма (рис. 7) с равными основаниями и равными высотами.

Д л я п р о с т р а н с т в а. Если две объемные фигуры могут быть помещены в такое положение, что всякая плоскость, параллельная какой-нибудь заданной плоскости и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними плоские фигуры равной площади, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить две пирамиды с равными основаниями и равными высотами (рис. 8).

П р и м е р 3. Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме
Пифагора для прямоугольного треугольника:

«Если три грани тетраэдра – прямоугольные треугольники (рис. 9), то
S12 +S22 + S32= S42 , где S1, S2, S3 – площади граней, составляющих прямой угол, S4 – площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного угла”.

Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников соответственно равны: у ?АВД – а и b; у ?АДС – а и d; у ?АСВ – b и d, тогда

S1 = SАДВ = Ѕ аb; S2 = SАДС = Ѕ ad;

S3 = SАСВ = Ѕ bd. (1)

Для того чтобы найти S4 , найдем гипотенузу ?АСВ: ВС = (b2 + d2.
Высота основания, проведенная к гипотенузе ВС, равна
АМ = bd + d/(b2 +d2 .

Высоту четвертой грани (?ДВС) будем искать по теореме Пифагора:
ДМ = (а2 + bd/b2 + d2 .

Тогда

S4 = Ѕ/(b2 +d2 * (а2 + bd/b2 + d2 = Ѕ/(b2 +d2 * ( а2 d2 + а2 b2 + b2d2 /(b2 +d2 = Ѕ ( а2 d2 +а2 b2 + b2d2;

S42 = ј(а2 d2 + а2 b2 + b2d2) (2)

Согласно равенствам (1), имеем:

S12 +S22 + S32 =ј а2 d2 +ја2 b2 +ј b2d2 = ј(а2 d2 + а2 b2 + b2d2).

Так как равые части последнего равенства и равенства (2) равны, то равны и левые части:
S12 +S22 + S32 = S42.

На случай пространства можно сформулировать и доказать и такую обобщенную теорему Пифагора для проекций: «Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые».

П р и м е р 4. Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является аналогом такой плоскостной теоремы:

«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы».

Формулировка аналогичной теоремы для пространства:

«Если трехгранных угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся, как произведения длин ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов».

П р и м е р 5. В планиметрии рассматривается такая задача:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпаргалки по философии, сжатое изложение.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата