Предыдущая страница реферата | 13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23 | Следующая страница реферата

Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.

Аналитические методы лишены в какой ( то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.

Существуют различные аналитические методы получения параметров эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении.
Рассмотрим некоторые из существующих способов.

1. Способ средней

Допустим, что имеется n сочетаний xi, yi, полученных при эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена функциональная связь ( в данном случае предположим, что линейная ), то наблюдаемые значения yi будут отличаться от ахi + b вследствие наличия экспериментальных ошибок. Обозначим через (i соответствующую ошибку

(i = yi ( axi ( b (i = 1, 2, ..., n)

Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е. [pic], то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения двух коэффициентов (а, b) их требуется два.
Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину ( или почти половину ) всех наблюдений в отдельности.

В этом случае можно прийти к системе уравнений

[pic] , где m ( число наблюдений в первой группе.

Данную систему уравнений запишем теперь в виде

[pic].

Изложенное показывает, что метод средних (уравновешивает( положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений.

Пример.Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом средней. Для этого семь измерений разделим на две группы m = 3 первых значений, n ( m = 4 последующих
[pic]; [pic];
[pic] ; [pic].

Получаем систему

[pic]

Решая систему находим

[pic]; b = [pic]

Таким образом способ средней дает прямую

y = 0,55х + 3,11.

В сравнении с графическим способом коэффициенты а совпадают и имеется различие в коэффициенте b.

3.3.2. Метод наименьших квадратов

В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой ( в частном случае прямой
). Очевидно, что при этом (i могут быть значительной величины. Имеет значение только (уравновешивание( положительных и отрицательных отклонений.

Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов.

Предположим, что искомая зависимость y = ((х) существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки yi располагались по обе стороны кривой y = ((х) как можно ближе к последней.
Предположим, что разброс точек yi относительно y = ((х) подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия (2 или ее приближенное выражение ( средний квадрат отклонений.

[pic].
И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение ( (yi )2. Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная ( или частные производные для функции многих переменных ) равна нулю.
Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект, онлайн решебник.





Предыдущая страница реферата | 13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23 | Следующая страница реферата