Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата

В процессе проверки гипотезы Но можно прийти к правильному решению или совершить ошибку первого рода ( отклонить Но когда она верна, или ошибку второго рода ( принять Но, когда она ложна. Иными словами, ошибка первого рода имеет место, если точка х попадает в критическую область х1, в то время как верна нулевая гипотеза Но, а ошибка второго рода ( когда х ( хо, но гипотеза Но ложна.

Желательно провести проверку гипотезы так, чтобы свести к минимуму вероятности обоих ошибок. Однако при данном числе испытаний n в общем случае невозможно одновременно обе эти вероятности сделать как угодно малыми. Поэтому наиболее рационально выбирать критическую область следующим образом: при заданном числе испытаний n устанавливается граница для вероятности ошибки первого рода и при этом выбирается та критическая область х1, для которой вероятность ошибки второго рода минимальна.

2.5. Вероятности ошибок первого и второго рода

Рассмотрим станок, который может работать только в одном из двух состояний. Если он работает в налаженном режиме, то для интересующего нас признака качества, например, длины или диаметра заготовки, имеет место нормальное распределение при работе как в налаженном так и в разлаженном режиме. Оба режима отличаются только уровнем настройки процесса по математическому ожиданию ( М(х) = 10 и 11, соответственно в налаженном и разлаженном режиме ), в то время как дисперсии в обоих случаях составляют
(2 = 4.

Проверить нужно нулевую гипотезу, в соответствии с которой М(х) = 10, против альтернативы ( в данном случае единственной ) М(х) = 11.
Конкурирующую гипотезу обозначим Н1. Тогда Но: М(х) = 10; Н1: М(х) = 11.

Необходимо по результатам выборки определить в каком из состояний работает станок. Примем объем выборки n из потенциально бесконечной генеральной совокупности. В качестве контрольной величины возьмем выборочное среднее Хn. На рис. 9 изображены плотности распределения Хn для n = 25 и n = 4.

Для формулировки критерия необходимо разделить область изменения контрольной величины (х) на критическую область отклонения гипотезы Но ( принятия Н1 ) и область принятия гипотезы Но. Для этого необходимо выбрать число К, такое, что 10 ( К ( 11, и интервал ( ((; К ( рассматривать как область принятия гипотезы Но, а интервал ( К; ( ) ( как область отклонения гипотезы Но. По рис. 9 видно, что каждая реализация Х25 или Х4 возможна при верности любой из двух гипотез, но с различной вероятностью. На рис. 9 указаны вероятности совершения ошибки первого

Рис. 9. Плотности распределения двух гипотез при различном объеме выборки и одинаковой дисперсии

рода ( ( отклонения верной гипотезы Но ) и второго рода ( ( принятие гипотезы Но, когда она не верна ). По рис. 9 также видно, что увеличение n ведет к уменьшению дисперсии распределения х и тем самым ( к одновременному уменьшению вероятностей ( и (. В соответствии с рис. 9 можно записать:

[pic];

[pic].

Эти два уравнения содержат четыре величины (, (, К, n. Задав две из четырех величин, можно определить две другие.

Например, при n = 25 и К = 10,4 определим:

[pic];

[pic].
Если задаться величинами ( и (, то можно определить величины К, n.

2.6. Проверка гипотезы вида закона распределения вероятностей

При проверке эксперимента закон распределения вероятностей случайных величин неизвестен и можно лишь предположительно судить о его виде .
Выборочные оценки параметров распределения несут в себе случайные ошибки, искажающие истинный характер распределения. Поэтому после получения эмпирического распределения производится подбор теоретического закона распределения, пригодного для описания вероятностных свойств изучаемой случайной величины. Критерии подбора ( проверки гипотезы соответствия ) называют в статистике критериями согласия. Все они основаны на выборе допустимой меры расхождения между теоретическим распределением и выборочными данными.

Общую процедуру проверки гипотезы закона распределения можно представить в следующей последовательности:
По опытным данным строится эмпирическая кривая распределения вероятностей;
Определяются параметры эмпирического распределения ( в соответствии с его видом );
Выдвигается одна или несколько гипотез о функции плотности исследуемой случайной величины, исходя из внешнего вида эмпирической кривой, значений ее параметров, технических факторов, влияющих на ее вид;
Эмпирическая кривая выравнивается по одной или нескольким теоретическим кривым;
Проводится сравнение по одному или нескольким критериям согласия;
Выбирается теоретическая функция, дающая наилучшее согласование.

Поясним п. 4; 5. Определив по эмпирическим данным параметры распределения, подставляют их в теоретическую кривую закона распределения и рассчитывают вероятность середин интервалов эмпирического распределения.
Умножив значение полученной вероятности на общее число опытов, получают теоретическое значение частот случайной величины, которые и определяют
(выровненную( кривую. Теперь можно найти вероятность того, что эмпирическая кривая соответствует выбранной теоретической, выбрав вероятность согласия ( уровень значимости ). Если результат расхождения не выйдет за принятый уровень значимости, то считают, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим. Если сравнение осуществляется с несколькими теоретическими законами, то окончательно принимать тот, который дает лучшее соответствие.

Чаще всего в качестве критериев согласия принимают критерий Пирсона (
(2 ) и критерий Колмогорова ( Смирнова ( К ( С ( критерий ).

Критерий (2 является наиболее состоятельным при большом числе наблюдений. Он почти всегда опровергает неверную гипотезу, обеспечивает минимальную ошибку в принятии неверной гипотезы по сравнению с другими критериями.

(2 = [pic],

где mj ( наблюдаемая частота случайного события; m(j ( ожидаемая по принятому теоретическому закону распределения;

К ( число интервалов случайной величины.
Затем определяется число степеней свободы l:

l = К ( r ( 1;

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект, онлайн решебник.





Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата