Отображения в пространстве R(p1,p2) §1. Пространство R(p1,p2).

А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,` e}, где а и` e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q ` e , d` e= W` e (1),

причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = q Щ W , DW=WЩ W=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =` e + d` e + 1/2d2` e + 1/6d3` e +... по отношению к вектору ` е. Тогда ` e* =e*` e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора ` e* , близкого к ` e , по отношению к ` e.

Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора ` е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -` е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q =0, -W+q =0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q .

Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,` ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; d` ej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2® R(p1,p2).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=l jWj ; Q-W=m jWj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)® A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=l j(Q+W)+m j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l kl j+m km j=d jk

l jl j=1

m jm j=1 (*)

l jm j=0

m jl j=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: собственность реферат, шпаргалки бесплатно скачать.





1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата