Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

(28)

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно yin+2, i = 1, 2,…, N – 1, имеет вид

(29)

где ai = 0,5 (k(yni) + k(yni-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по ( и второй – по h. Решение yin+1, i = 1,
2,…, N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

где ki = k(yin).

Часто используется нелинейная схема

(30)

Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:

(31)

Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для yin+1 выбирается yin. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг (.
Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) ( c1 > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения yi(S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).

Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности, аналогичные методу
Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы.
На первом этапе решается неявная линейная система уравнений

из которой находятся промежуточные значения yin+1/2, i = 0, 1,…, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения
(28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = yin+1/2, т.е. схема

--------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата