Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

удовлетворяющее начальному условию

u(x, 0) = u0(x) (2)

и граничным условиям

u(0, t) = (1(t), u(1, t) = (2(t). (3)

Здесь u0(x), (1(t), (2(t) – заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.

3.2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.

(h = {xi = ih, i = 0, 1,…, N, hN = 1}

и сетку по переменному t с шагом (, которую обозначим

(( = {tn = n(, n = 0, 1,…, K, K( = T}

Точки (xi, tn), i = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, образуют узлы пространственно- временной сетки (h, ( = (h x ((. Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 =
{0 ( x ( 1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 ( t ( T}, I2 = {x = 1, 0 ( t ( T}, называются граничными узлами сетки (h, (, а остальные узлы – внутренними.
На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками.

Слоем называется множество всех узлов сетки (h, (, имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов

(x0, tn), (x1, tn),…, (xN, tn).

Для функции y(x, t), определенной на сетке (h, (, введем обозначения yni = y(xi, tn),

(4)

Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

(xi, tn+1) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1)

(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn)

(xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1) (xi, tn+1)

(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn)

(xi, tn-1)

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi(1, tn), (xi, tn),
(xi, tn+1). Производную (u/(t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением ynt, i, а производную (2u/(2x – второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией (ni, в качестве (ni можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

(5)

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по ( и вторым порядком по h при условии, что разность (ni
– f(xi, tn) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата