1. Примеры разностных аппроксимаций.

Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

(h={xi=ih, i=0, (1, (2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим

Разностные отношения называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xi и при h(0 (тем самым при i(() пределом этих отношений является u’(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим

ux,i – u’(xi) = 0,5hu’’(xi) + O(h2), ux,i – u’(xi) = -0,5hu’’(xi) + O(h2), ux,i – u’(xi) = O(h2),

Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная

аппроксимирует u’’(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

(1)

с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением

(2)

где a=a(x) – функция, определенная на сетке (h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в
(2) разложения

где ui’ = u’(xi), получим

С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’, т.е.

Отсюда видно, что Lhu–Lu = O(h2), если выполнены условия

(3)

Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция.
Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:

Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа

(4)

Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x2, т.е. множество точек

(h = (xi1, xj2) ,

и обозначим

Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение