Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(5)

аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е.
Lhuij – Lu(xi1, xj2) = O(h21) + O(h22). Более того, для функций u(x1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором
Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2j), (x1i(1, x2j), (x1i, x2 j(1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.

2. Исследование аппроксимации и сходимости

2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. Ранее рассматривалась краевая задача

(k(x) u’(x))’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1)

– k(0) u’(0) + (u(0) = (1, u(l) = (2, (2) k(x) ( c1 > 0, ( ( 0,

для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема

(3)

(4)

где

(5)

(6)

Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через Lhyi – левую часть уравнения (3), т.е.

Пусть ((x) – достаточно гладкая функция и ((xi) – ее значение в точке xi сетки

(h = {xi = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l} (7)

Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=xi, если разность Lh(i – Lh((xi) стремится к нулю при h(0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).

Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле
Тейлора в точке x=xi значения (i(1 = ((xi ( h), входящие в разностное выражение Lh(i. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях

(8)

выполняется соотношение

Если кроме того, докажем, что

di = q(xi) + O(h2), (i = f(xi) + O(h2) (9)

то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е.

Lh(i – L((xi) = O(h2), i = 1, 2,…, N–1 (10)

Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата