Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

(6)

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y0i = u0(xi), i = 0, 1,…, N. Если решение yni, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле

(7)

а значения доопределяются из граничных условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой.
Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yin+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zin = yin – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3).
Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности

(8)

где – погрешность аппроксимации разностной схемы (6) на решении задачи (1) – (3), (in = O(( + h2). Можно оценить решение zin уравнения (8) через правую часть (in и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по ( и вторым – по h.
Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии ( ( 0,5h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Рассмотрим уравнение

(9)

т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

yjn (() = qneijh(, (10)

где i – мнимая единица, ( – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eijh(, получим

откуда найдем

(11)

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого ( множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n((. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| ( 1 для всех действительных (, то все решения вида
(10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |q| ( 1 выполняется согласно (11) при всех ( тогда и только тогда, когда ( ( 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия ( ( 0,5h2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид (/h2 (
0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10-2. Тогда шаг ( не должен превосходить 0,5 * 10-4, и для того чтобы вычислить решение yjn при t = 1, надо взять число шагов по времени n = (-1 ( 2 * 104, т.е. провести не менее 2 * 104 вычислений по формулам (7).

3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (xi, tn), (xi(1, tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид

(12)

Здесь (ni = f(xi, tn+1) + O(( + h2). Схема имеет первый порядок аппроксимации по ( и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения yin+1 по известным yin требуется решить систему уравнений

(13)

где ( = (/h2, Fin = yin + ((in. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим

следовательно, |q| ( 1 при любых (, (, h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах ( и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг ( слишком малым, можно взять, например, ( = h = 10-2. Величина шагов сетки (, h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата