Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(11)

(12)

где обозначено

Функция (i, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что (i =
O(h2) при h(0, i=1, 2,…, N–1. Аналогично, величина (1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем (1=O(h2). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части.

Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11),
(12) через правые части (i, (1, т.е. получим неравенство вида

(13)

с константой M1, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что

Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой

для разностной схемы (3), (4) при (2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям ( и (1.

2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7).
Обозначим

Справедливо следующее разностное утверждение:

(y, (x) = –((, yx) + yN(N – y0(1. (14)

Действительно,

что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.

Подставляя в (14) вместо ( выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина

(15)

Здесь В частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим

(16)

Обозначим

и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN =
0, справедливо неравенство

(17)

Для доказательства воспользуемся тождеством

и применим неравенство Коши-Буняковского

Тогда получим

Откуда сразу следует неравенство (17).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата