Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

(14)

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме
(12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр ( и определим разностную схему

(15)

При ( = 0 получим отсюда явную схему, при ( = 1 – чисто неявную схему и при ( = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи
(15) в виде yin = u(xi, tn) + zin, где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

(16)

i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1, z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1,…, K – 1, zi0 = 0, i = 0, 1,…, N.

Сеточная функция (in, входящая в правую часть уравнения (16) и равная

(17) называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) –
(3). Получим первые члены разложения функции (in по степеням h и (. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для (in, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5(). Учитывая разложения

где

получим

Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него uIV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что

(18)

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по ( и четвертый – по h.
Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по ( и по h. При остальных значениях ( и при (in ( 0 в виде (10), то получим

и |q| ( 1 при всех (, если

(19)

Отсюда видно, в частности, что все схемы с ( ( 0,5 абсолютно устойчивы.
Схема повышенного порядка аппроксимации (( = (*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При ( ( 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yin+1 по заданным yin требуется решать систему уравнений

(20)

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при (
( 0 сводятся к неравенству

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата