Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

|1 + 2((| ( 2 |(| (

и выполнены при ( ( – 1/(4(). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

(21)

где ((x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

0 < c1 ( k(x, t) ( c2, ((x, t) ( c3 > 0. (22)

Дифференциальное выражение при каждом фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

(23)

где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

(24)

Здесь в качестве t можно взять любое значение t ( [tn, tn+1], например t = tn + 0,5(. Если в уравнении (24) t = tn + 0,5(, ( = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по ( и по h. При остальных значениях ( и t выполняется первый порядок аппроксимации по ( и второй – по h.

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с ( = 0 и f(xi, t) ( 0, т.е. схему

(25)

Предположим, что коэффициенты ((xi, t), a(xi, t) – постоянные, ((xi, t)
( ( = const, a(xi, t) ( a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде

или

Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при (’ ( 0,5h2, т.е. при

(26)

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(xi, t), ((xi, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства

(27)

Если известно, что 0 < c1 ( a(xi, t) ( c2, ((xi, t) ( c3 > 0, то неравенство (27) будет выполнено при

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы
2.

Если параметр ( ( 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых работ бесплатно, курсовая работа.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата