Предыдущая страница реферата | 9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 | Следующая страница реферата

2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2δ точки x = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с положительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

lim f(c - Δx) = f(c)  и  lim f(c + Δx) = f(c).  - Δx→0                                  + Δx→0

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий предел для f(c — Δx) и f(c+Δx) при Δx → 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 < Δx< δ):

Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f(c —Δx) и f(c+Δx)

возрастают при стремлении Δx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1>x2 f(x1)<f(x2)).

Другими словами, как f(c — Δx), так и f(c+Δx) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения Δx ≠ 0:

f(c - Δx) < f(c) и f(c + Δx) < f(c).

Но в таком случае f(c) есть максимум функции f(x) в точке х = с.

3°. Так же можно доказать, что если в окрестности 2δ точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f '(x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).

4°. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х3 имеет в точке x =0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х3 при всех значениях х, в том числе и при x = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

5°. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарными точками.

Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная составляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).

Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: греция реферат, республика реферат.





Предыдущая страница реферата | 9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 | Следующая страница реферата