Содержание

Введение
|Исторический обзор аксиоматического построения проективной геометрии |4 |
|Глава 1. Определение проективной плоскости на базе трехмерного | |
|векторного пространства. |5 |
|Понятие проективной плоскости. |5 |
|Свойства проективной плоскости. |5 |
|Модели проективной плоскости. |8 |
|Теорема Дезарга. |12 |
|Теорема Паппа. |14 |
|Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости. |17 |
|2.1. Понятие проективной плоскости. |17 |
|2.2. Свойства проективной плоскости. |18 |
|2.3. Теорема Дезарга. |20 |
|Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости. |23 |
|3.1. Аксиоматика аффинной плоскости. |23 |
|3.2. Аксиоматика проективной плоскости. |24 |
|3.3. Модели проективной плоскости. |24 |
|3.4. Теорема Дезарга. |26 |
|3.5. Принцип двойственности. |30 |
|3.6. Гармоническая четверка точек. |32 |
|3.7. Перспективные и проективные отображения. |34 |
|3.8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях |37 |
|прямой. | |
|Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой | |
|плоскости. |42 |
|4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости. |42 |
|4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости. |43 |
|Приложения |46 |
|Список литературы |56 |

Введение
Понятие проективной плоскости можно ввести многими способами. Проективную плоскость можно построить на базе трехмерного векторного пространства, аналитически и аксиоматически.
В данной работе, в ее первой главе, проективная плоскость Р2 строится на базе трехмерного векторного пространства, рассматриваются свойства проективной плоскости и ее модели. В конце главы доказываются теоремы:
Дезарга и Паппа.
Во второй главе проективная плоскость рассматривается как множество проективных точек, каждая из которых представляет собой класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащей нулевой тройки.
При данном подходе к построению проективной плоскости рассматриваются свойства, доказывается теорема Дезарга.
В третьей главе уделяется внимание построению проективной плоскости аксиоматически. Прежде чем определить проективную плоскость, вводится аксиоматика аффинной плоскости. После определения проективной плоскости рассматриваются 4 ее модели. Особое внимание уделяется теореме Дезарга. На основе изложенного в третьей главе материала делается вывод о двойственности на проективной плоскости. В этой главе также определяются понятия: гармоническая четверка точек, перспективные и проективные отображения. Завершает главу аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.
Глава четвертая изучает использование теорем Дезарга и Паппа на евклидовой плоскости. После чего приводятся решения задач, при решении которых использовались доказанные выше теоремы.
Вся история геометрии дает поучительный пример того, как эта наука материальные корни которой берут свое начало из жизненных потребностей человеческого общества (землемерие, постройка жилищ, живопись), достигла высокого теоретического уровня, выработала свои специфические и вместе с тем весьма общие методы, которые в свою очередь сделали возможным новые плодотворные применения геометрии к практическим вопросам.

Исторический обзор аксиоматического построения проективной геометрии.
Имеются различные аксиоматические способы построения проективного пространства. Наиболее распространенным является видоизменение системы аксиом, предложенной в 1899 году Гильбертом для обоснования элементарной геометрии.
Проективное пространство рассматривается как совокупность элементов трех родов: точек, прямых и плоскостей, между которыми установлено основное для проективной геометрии отношение инцидентности, характеризующееся надлежащими аксиомами. Они отличаются от соответствующих групп аксиом элементарной геометрии, тем, что требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, имели общую точку и на каждой прямой имелось, по крайней мере, три различные точки. В конкретных случаях для получения более
«богатой» проективной геометрии эта совокупность аксиом дополняется аксиомами порядка и непрерывности (для действительного проективного пространства), аксиома Паппа (для проективной геометрии над коммутативными телами), Фано постулатом (для проективной геометрии над телами, характеристика которого порядка (2) и т.д.
Замечательным положением проективной геометрии является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая (точка и плоскость, прямая и плоскость) инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку и т.д.). Тогда если верно некоторое предположение А о точках, прямых и плоскостях проективного пространства, сформулированные только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и двойственное предложение В, которое получается из А заменой слова «точка» на слово
«плоскость», слово «плоскость» на слово «точка» и с сохранением слова прямая.
Важную роль в проективной геометрии играет Дезарга предложение, выполнение которого необходимо и достаточно для введения проективными средствами системы проективных координат, составленных их элементов некоторого тела К, естественным образом связанного с точкой проективной прямой.
Основы проективной геометрии заложены в 17в Ж. Дезаргом и Б. Паскалем.
Большое значение для последующего развития проективной геометрии имели работы П. Монтена (2-я полов. 18в – нач. 19в).
Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия была изложена
Понселе (нач. 19в). Заслуга Ж. Понселе заключается в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс, и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур.
К этому же периоду относятся работы Ж. Брионшона. Дальнейшее развитие проективная геометрия получила в трудах Я. Штейнера и М. Шаля. Большую роль в развитии проективной геометрии сыграли работы К. Штаудта, в которых были намечены также контуры аксиоматического построения проективной геометрии.
Все эти геометрии, стремились доказать теоремы проективной геометрии синтетическим методом, положив в основу изложенные проективные свойства фигур.
Аналитическое направление в проективной геометрии было намечено работами
А. Мебиуса. Влияние на развитие проективной геометрии оказали работы Н.И.
Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем
А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрии, систематизировать с точки зрения проективной геометрии.
Развитие аналитических методов обычной проективной геометрии и построение на этой базе комплексной проективной геометрии поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А.Н.
Колмогоров и Л.С. Понтрягин.

Глава 1. Определение проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.

1. Понятие проективной плоскости.
Рассмотрим определение проективной плоскости Р2. Понятие проективной плоскости строится на базе трехмерного векторного пространства V3.
Определение: Не пустое множество Р2 называется проективным плоскостью, если существует отображение ( множества ненулевых векторов V3 в Р2 удовлетворяющее двум условиям:
1) Отображение ( сюрьективно.
2) Образы 2-х векторов совпадают, эти векторы линейно зависимы.
((х)=((у)( х,у – линейно зависимы.

1.2. Свойства проективной плоскости.
Рассмотрим свойства проективной плоскости Р2.

1) Через ( две () проективной плоскости проходит единственная прямая.
Доказательство: Рассмотрим проективную плоскость Р2 построенную на базе
V3.
Пусть точка А порождена вектором а(V3 (т.е. ((а)=А).
() В порождена b(V3(т.е. ((b)=В); a (( b т.к. порождают различные точки. Тогда на вектора a,b можно натянуть двумерное векторное пространство L(a,b), которое на проективной плоскости порождает прямую l. Очевидно прямая l проходит через () А и В.

V1(а)=A V1(V2 ( A( l

V1(b)=B V1'(V2 ( B( l
Единственность: Действительно, пусть l'- произвольная прямая проходящая через () А и В, а L'- двумерное подпространство, которое порождает прямую l' так как А(l' и В(l', то а(L' и b(L' ( L' - подпространство натянутое на векторы а и b. Таким образом L и L'- одно и тоже векторное подпространство
( прямые l и l' совпадают.

2) На проективной плоскости (две прямые пересекаются.
Доказательство:
Р2 построено на базе V3 прямая l -V2 (V3 прямая m -V2' (V3
1) V2(V2', так как l (m
2) V2(V2'=V1 - порождает ()А; l(m =A так как V1(V2 ( A(l

V1(V2'( A(m; ()А - единственная. l и m пересекаются в единственной ()А.

3) Точки проективного пространства Р3 называются линейно зависимыми

(линейно независимыми), если векторы порождающие их из пространства V4 линейно зависимы (линейно независимы).
На проективной плоскости ( три линейно независимые точки и они не лежат на одной прямой. Так как в V3 ( тройка линейно независимых векторов
(e1,e2,e3(, то эта тройка на проективной плоскости порождает тройку линейно независимых точек Е1, Е2, Е3.
Покажем, что эти точки не лежат на одной прямой. Если бы эти точки принадлежали одной прямой, то вектора порождающие их должны были принадлежать V2, чего быть не может, так как эти вектора линейно независимы.
Вывод: точки Е1, Е2, Е3 не лежат на одной прямой и эти точки Е1, Е2, Е3 - линейно независимы.

4) На каждой прямой лежит не менее трех точек.
Доказательство: Прямой l(P2 соответствует в векторном пространстве V3 двумерное подпространство V2. Пусть V2 натянуто на векторы a и b. Вектор с
= a + b, с(V2. Соответствующие точки А,В,С(l и различны.
Вывод: На каждой прямой лежит не менее трех точек.
Замечание: Любая четверка точек проективной плоскости линейно зависима.

1.3. Модели проективной плоскости.

1) Связка прямых в трехмерном евклидовом пространстве Е3.
Связкой прямых в Е3 называется множество прямых пространства проходящих через некоторую фиксированную ().
Эта () - называется центром связки.
Пространство Е3 построено на базе V3. Зададим отображение ( множества ненулевых векторов на связку по закону каждому вектору A поставим в соответствии прямую ОА связки, чтобы ОА (( a.

Проверим выполняемость аксиом проективной плоскости.

1)(- сюрьективно, так как у ( прямой ОМ всегда будет хотя бы один прообраз вектор m (( ОМ

2)если 2 вектора коллинеарны a (( a1, то образы совпадают - это будет прямая ОА, ((a)=((a1)=OA.
Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны.

Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных прямых выполняют плоскости связки.
Проанализируем, как выполняются свойства проективной плоскости.

|Свойства проективной плоскости |Реализация на модели |
|1)Через две любые точки проходит |1)Через две прямые связки проходит |
|единственная прямая |единственная плоскость связки |
|2)( две прямые на проективной |2)( две плоскости связки пересекаются|
|плоскости пересекаются |по прямой связки |
|3)( три () не лежащие на одной прямой|3)( три прямые связки не лежащие в |
| |одной плоскости связки |
| |4)Каждой плоскости связки принадлежит|
|4) на каждой прямой лежит не менее |не менее трех прямых этой связки |
|трех точек | |

2)Рассмотрим вторую модель - расширенная евклидова плоскость.
Рассмотрим в пространстве связку с центром в ()О и плоскость ( не проходящую через ()О и зададим отображение ( плоскости ( в связку с центром в ()О по закону: (()А плоскости ( ставится в соответствии прямая ОА.

(- биективно? т.е. любой ли прямой связки будет соответствовать прообраз?
Ответ: нет. Прямые связки параллельные ( не имеют прообразов и такие прямые называют особыми. Таких прямых будет бесчисленное множество и все они лежат в плоскости связки, которая параллельна (. Такую плоскость назовем особой плоскостью. Для того, чтобы отображение ( сделать биективным и получить новую модель проективной плоскости дополним евклидову плоскость (
"несобственными элементами".
Рассмотрим особую прямую связки m, m (( (, и проведем через эту прямую не особую плоскость (, ((m)( ( =a, a(( m.
( прямая (не особая прямая) связки (( имеет свой прообраз на прямой a.
Поставим в соответствие прямой m не собственную ()М (, которая (a.

Проведем через особую прямую m другую не особую плоскость ( ((m)( ( =b, a
(( b (( m, так как каждая не особая прямая ( имеет прообраз на прямую b, то прообраз особой прямой m не собственная ()М((b. Если рассмотрим другую особую прямую n, то должны поставить в соответствие свою несобственную
()N(.
Каждая не особая плоскость связки имеет на плоскости ( своим прообразом прямую пересечения этой плоскости с плоскостью (.(-a,(-b. Поставим в соответствие особой плоскости несобственную прямую l(, тогда так как все особые прямые лежат в единственной особой плоскости, то все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.
Определение: Расширенной евклидовой плоскостью ( называется евклидова плоскость дополненная несобственными элементами: несобственными точками и единственной несобственной прямой, причем все прямые параллельные между собой дополняются одной и той же несобственной точкой и все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.
Отображение (: ( ( связку стало биективным, так как связка прямых является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскость ( является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют собственные и несобственные точки. Роль проективных прямых выполняют собственные прямые плоскости ( и несобственная прямая.
Рассмотрим выполняемость свойств проективной плоскости на построенной модели.
|Свойства проективной плоскости |Выполнение свойств на модели |
|1)через две любые точки проходит |а)()А,В собственные и через них |
|единственная прямая |проходит единственная прямая АВ |
| |б) А,В( |
| | |
| |через А проводим прямую a((b прямая |
| |АВ( |
| |в)А(, В(- лежат на единственной |
| |несобственной прямой l(. |
|2)( две прямые пересекаются |2) а)a, b- собственные a(b=А |
| |б)a, b собственные но с евклидовой |
| |точки зрения ((, а как прямые |
| |расширенной плоскости a(b=А( |
| |в)a, b( |
| |A((A, A((b( ( A(b(=A( |