Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1
Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1( что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.

4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.
Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.
Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

рис. 1

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

рис. 2

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)

рис. 3

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек
(P,A’,B(, (A,Q,C’(, (B’,C,R(, (A,C,В(, (B’,A’,C’(, лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.
(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1
(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1
(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1
Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:

(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1 то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.

Приложение
№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.
Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’
Доказать что: QP||Q’P’

Доказательство:
Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то
(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) ( (OQ/OQ’)=(OP/OP’) ( QP||Q’P’

№2.Назовите два треугольника перспективных относительно: а) точки Р б) точки Р’ в) точки D

Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.

№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.

1) АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC ( BD=AE и DF=AC.

Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE ( BF=CE ( BCEF - параллелограмм ( EF||BC.

2) AC(BD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и

(|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| (
(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) ( EF||CB.

№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые
AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?

Решение. Пусть AE(DM(NB=C, AM(DB(NE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()L(MN ( AB(DE(MN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.

№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
AA’(BB’(CC’=S ?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.

AB( А1В1=P(
BC( В1С1=Q(
AC( А1С1=R( лежат на одной несобственной прямой S( по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.
AA’(BB’(CC’=S.
№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме
Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой ( ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.
№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
Требуется доказать, что LN(MK(BD(AC=S
Решение.

AC(LN(BD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга ( AC(LN(BD=S.
Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме
Дезарга ( MK(BD(AC=S
Получили AC(BD(MK(LN=S.
Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что AN(BP(CM=S.
Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые работы бесплатно, мир докладов.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата