Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Х=С*m (6). ч.т.д.
Теорема 3: Для того, чтобы три () Х,Y,Z лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы

Х1 Х2 Х3
|X,Y,Z|=0 (7), то есть Y1 Y2 Y3 =0

Z1 Z2 Z3
Доказательство: 1)Необходимость. Пусть () X,Y,Z лежат на одной прямой С. если хотя бы две из них совпадают, то равенство (7) следует из определения смешенного произведения и свойств определителя. Пусть эти () различны.
Пользуясь теоремой 1, можно записать C=X*Y. Так как ()Z лежит на прямой C, то CZ=0 ( (X*Y)Z=|X,Y,Z|=0
2)Достаточность. Пусть выполняется равенство (7). Рассмотрим произведение
C=X*Y. Равенство (7) можно записать в виде (X*Y)Z=0, то есть CZ=0 (()z лежит на прямой C проходящей через () X и Y. Равенство (7) не зависит от выбора представителей точек.
Теорема доказана.
Теорема 4: Для того, чтобы три прямые c, m, n проходили через одну () необходимо и достаточно, чтобы

|c,m,n|=0 (8)
Для троек действительных чисел понятие линейной зависимости и линейной независимости определяется так же, как и для векторов. Пусть тройки x,…, x линейно зависимы. Легко проверить, что ( другие тройки x,…, x, принадлежащие тем же классам, тоже линейно зависимы. Поэтому классы троек
(точки) линейно зависимы, если линейно зависимы какие-нибудь представители этих классов.
Из теорем 3 и 4 следуют две теоремы.
Теорема 5: Для того, чтобы три () лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Теорема 6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

2.3. Теорема Дезарга.
На проективной действительной плоскости имеет место теорема Дезарга.
Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
P=AB(A'B', Q=AC(A'C', R=BC(B'C', AA'(BB'(CC'=Q
P,Q,R лежат на одной прямой.
Доказательство: Введем проективную систему координат, примем () А,В,С,О за фундаментальные:

А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)
Координаты ()А'- есть линейная комбинация координат ()А и ()О, так как
А(А', то а'=(А + ((
Можно положить (=1. Тогда получаем А'=(А +(. Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А'((+1,1,1), В'(1,(+1,1),
С'(1,1,(+1) уравнение прямой АВ: х1 х2 х3

1 0 0 =0

0 1 0

АВ: х1 0 0 + х2 0 1 + х3 1 0 =0

1 0 0 0 + 0 1
АВ: х3=0
Уравнение А'В': х1 х2 х3

(+1 1 1 =0

1 (+1 1
A'B': х1 1 1 + х2 1 (+1 + х3 (+1 1 =0

(+1 1 1 1 1 (+1
A'B': -(х1 - (х2 + ((( + ( + ()х3 = 0
Так как АВ(A'B'=P х3 = 0

-(х1 - (х2 + ((( + ( + ()х3 = 0
()Р 0 1 . 1 0 . 0 0 ;()Р
((,-(,0).

-( ((+(+( , ((+(+( -( , -( -(
АС: х1 х2 х3 A’C’: х1 х2 х3

1 0 0 =0 (+1 1 1 =0

0 0 1 1 1 (+1
АС: х2=0 A’C’: (x1 + (-(( - ( - ()x2 + (x3 = 0 так как АС(А’С’ = Q

+x2 = 0
(x1 + (-(( - ( - ()x2 + (x3 = 0, то Q(+(, 0, ()
BС: х1 х2 х3 B’C’: х1 х2 х3

0 1 0 =0 1 (+1 1 =0

0 0 1 1 1 (+1
BC: x1 = 0 B’C’: (( + (( +()x1 - (x2 - (x3 = 0 так как R= BC(B’C’ x1 = 0

(( + (( +()x1 - (x2 - (x3 = 0, то () R(0, -(, -().
С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P,Q,R лежат на одной прямой.
Имеем ( -( 0 ( -( 0

( 0 ( = ( -( 0 =0

0 -( -( 0 -( -(
Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P,Q,R ( одной прямой.
Теорема доказана.

Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.
3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.
Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории.
Определение: Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.
А1: Для ( двух различных точек Р и Q ( единственная прямая, проходящая через них.
Две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек.
А2: Для ( заданной прямой l и точки Р ( одна и только одна проходящая через Р прямая m: m || l
А3: ( три неколлинеарные точки (Точки Р1,Р2,…Рn называются коллинеарными, если ( прямая l, что все эти точки ей принадлежат).
Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть является аффинной плоскостью.
Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.
Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки; обозначим их через P,Q,R. Согласно А2, ( прямая l , проходящая через Р и параллельной прямой QR, соединяющей Q и R (эта прямая ( по А1). Точно так же доказывается ( прямой m || PQ, проходящей через R.
Покажем теперь, что l || m. же S(R. Таким образом, четвертая () S необходимо должна существовать и наше первое утверждение доказано.

Теперь рассмотрим прямые PR и QS. Они могут пересекаться, но они могут и не пересекаться - это не противоречит аксиомам.
В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре ()
P,Q,R,S и шесть прямых PQ,РR,PS,QR,QS,RS.
Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную плоскость [pic], содержащую наименьшее возможное число (), а именно, четыре.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые работы бесплатно, мир докладов.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата