Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

3)Третья модель проективной плоскости.
В трехмерном евклидовом пространстве дана сфера. Под ()М будем понимать две диаметрально противоположные точки сферы, под прямой множество пар диаметрально противоположных точек лежащих на окружности большого радиуса.
Докажем, что построенное множество является проективной плоскостью.
()N=(N',N''(, ()K=(K',K''(.

Рассмотрим связку с центром в ()О и зададим отображение (:A((A',A''(
(прямой связки соответствует пара диаметрально противоположных точек пересечения этой прямой со сферой). ( - биективно ( построенная конструкция является моделью проективной плоскости.
Проверим выполняемость свойств проективной плоскости.
Свойства:
1)Через ( две точки проходит единственная прямая

- через две пары диаметрально противоположных точек сферы (М',М''( и
(N',N''( проходит единственная окружность большого радиуса.
2)( две прямые проективной плоскости пересекаются

- ( две окружности большого радиуса пересекаются в диаметрально противоположных точках.
3)( три точки не лежащие на одной прямой
-( три пары диаметрально противоположных точек ( одной окружности большого радиуса. Например: точки N=(N',N''(,K=(K',K''(,P=(P',P''(.
4)На каждой прямой лежит не менее трех точек

- рассмотрим окружность большого радиуса через ()О можно провести три различных диаметра, каждый диаметр пересекает данную окружность в диаметрально противоположных точках. Это означает, что на каждой прямой лежит не менее трех точек.
1.4. Теорема Дезарга.
При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема
Дезарга, которая гласит:
Теорема: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
AB(A'B'=P, AC(A'C'=Q, BC(B'C'=R, AA'(BB'(CC'=O,
P,Q,R- лежат в одной прямой?

Доказательство:
Рассмотрим векторы O,A,A',B,B',C,C',P,Q,R порождающие соответствующие (), так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. O= aA + a'A'.
Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой ( В, В', О- линейно зависимы ( O= bB + b'B'
()С, С', О - лежат на одной прямой ( O= cC + c'C' aA + a'A' = bB + b'B' = cC + c'C' aA - bB = b'B' - a'A' = P (1)
А,В,Р - линейно зависимы ( () А,В,Р ( одной прямой, А',В',Р'- линейно зависимы (()А',В',Р' ( одной прямой.
P=AB(A'B' aA - cC = c'C' - a'A' (2)
А,С,Q- линейно зависимы (()А,С,Q ( одной прямой.
А',С',Q'- линейно зависимы (()А',С',Q' ( одной прямой.
Следовательно, Q=АС(А'С' bB - cC = c'C' - b'B' = R (3)
В,С,R –линейно зависимы (()В,С,R ( одной прямой.
В',С',R' –линейно зависимы (()В',С',R' ( одной прямой
Следовательно, R=ВС(В'С'.
Составим выражение: [pic]
[pic] - векторы [pic] линейно зависимы ( ()P,Q,R лежат на одной прямой.
Теорема доказана.
Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'(ВВ'(СС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки
P,Q,R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:
Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.
Замечание: Трехвершинник - это фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.

А,В,С- вершины прямые АВ,ВС,АС- стороны

1.5. Теорема Паппа.
Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему
Паскаля.

рис. 1

Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’(A’B=P,AC’(A'C=Q, BC’(B’C=R.(рис. 1)

P,Q,R принадлежат прямой (прямая Паскаля)
Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А,В,С,А',В',С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых l и l', которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2).
Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'(А'В, Q=А'С(АС', R=ВС'(В'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа.
Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.

Рис. 2
*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести
()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3,
А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.

Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.
Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.

Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.
2.1. Понятие проективной плоскости.
Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.
Будем обозначать его Х={(Х1,Х2,Х3)}
Множество всех проективных точек называется действительной проективной плоскостью.
Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:

С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1) где хотя бы одно из чисел Ci отлично от нуля.
Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1,Х2,Х3) удовлетворяет уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительном ( тройка
((Х1, (Х2, (Х3) удовлетворяет уравнению (1).
Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному однородному уравнению.

((С1)Х 1+ ((С2)Х 2+ ((С3)Х 3=0 (2) при (((R: ((0.
Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1,С2,С3)}. Так, что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2) будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1,С2,С3)}.
Равенство (2) можно записать также в виде

СХ=0 (3)

Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0

Замечание: Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него нулевой вектор 0. Множество L3{0} разобьем по классам эквивалентности так, что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых принадлежат (0( назовем одномерной проективной плоскостью (прямой).
В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка
(Х1,Х2,Х3), а каждому классу эквивалентности из L3(0( (т.е. проективной
())- класс {(Х1,Х2,Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой строки.
Мы пришли к определению проективной плоскости.

2.2. Свойства проективной плоскости.
Докажем несколько простых теорем о взаимном расположении () и прямых на проективной плоскости.
Теорема 1: Через две различные () проходит единственная прямая.
Доказательство: 1) Существование. Пусть Х= {(Х1,Х2,Х3)} и У={(Y1,Y2,Y3)} две различные (). Определим прямую следующим образом:
C= Х*Y то есть С = Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2

Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2 так как CХ = (Х*Y)Х = |Х,Y,Х| = 0

CY = (Х*Y)Y = |Х,Y,Y| = 0 и по свойству определителей, то () Х и Y принадлежат прямой С.
2) Единственность. Если прямая С={(C1,C2,C3)} содержит () Х и Y, то любой представитель (C1,C2,C3) класса С удовлетворяет системе уравнений.

C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0

C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5)
( бесконечное множество ненулевых решений этой системы (нулевое решение не определяет прямую). При этом для ( решения (С1,С2,С3) справедливо равенство:
{(C1,C2,C3 )}= Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2

Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2
Т.е. решения системы (5) образуют единственный класс ненулевых троек.
Этот класс определяет единственную прямую С. ч.т.д.
Теорема 2: Две различные прямые имеют единственную общую точку.
Доказательство: Пусть, С={(С1,С2,С3)}, m={(m1,m2,m3)} две различные прямые. Найдем () Х ={(Х1,Х2,Х3)}, лежащую на этих прямых. Достаточно повторить доказательство предыдущей теоремы, заменив Х на С, Y на m, С на
Х. Получим, что единственная общая точка Х определяется равенством

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые работы бесплатно, мир докладов.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата