Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

AB(NP=Q(
BC(MP=R(
AC(NM=K( лежат на одной несобственной прямой P( по теореме обратной теореме Дезарга NA(BP(CM=S.
№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=AS(BC, B’=BS(AC, C’=CS(AB. Доказать, что точки BC(B’C’,
AC(A’C’, AB(A’B’ лежат на одной прямой.
Решение.

Обозначим () пересечения сторон BC(B’C’, AC(A’C’, AB(A’B’ соответственно
P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () S( () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой.
№10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку.
Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.

Точка А- дезаргова точка
Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники
A’(S SC(A’R=C’
R(C SB(A’P=B’
P(B CB(RP=Q.
Точки C’,B’,Q(S - дезаргова прямая.
№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:
1) ()S( - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.

Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.
2) ()S собственная, прямая S( - несобственная.
Формулировка.
Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников
АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.

3) ()S( - несобственная, прямая S( - несобственная.
Формулировка.
Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.

№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВС(p, L=AC(p, M=AB(p,
R=BL(CM, S=CM(AK, T=AK(BL.
Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что AR(BS(CT=Q

Решение
Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.
RS(AB=M
TS(BC=K () M,K,L(з (по условию)
TR(AC=L
Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга AR(BS(CT=Q.

№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых.
Построить прямую SC.
Построение.

Выбираем произвольно прямую s, () A,A’(a и ()В(b.
1)AB(s=P, 2)PA’(b=B’, 3)AC(s=R,
4)BC(s=Q, 5)A’R, B’Q, 6)B’Q(A’R=C’,
7)CC’ искомая прямая.
Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.
AB(A’B’=P
AC(A’C’=R (s (по построению)
BC(B’C’=Q
По обратной теореме Дезарга AA’(CC’(BB’=S.
№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить
() PQ(C, не проводя PQ.
Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1(C,Q
QQ1Q2 - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P1(C,
PQ(P1Q1(P2Q2=S
Обратная теорема Дезарга.
Построение:
1) QQ1(s=X
2) PX(C=P1
3) Q1Q2(s=Y
4) QQ2(s=Z
5) YP1
6) ZP(YP1=P2
7) P2Q2(c=S ()S - искомая точка.
Доказательство:
Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 - дезарговы.
QQ2(PP2=Z
QQ1(PP1=X (S (по построению).
Q1Q2(P1P2=Y
По обратной теореме Дезарга. PQ(P1Q1(P2Q2=S ( PQ(c=S искомая точка.

№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.
1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А’(а, ()В(b.
Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S( - несобственная, прямая s - собственная.
Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.

2) Построение:

1)АВ(s=P

2) A’P(b=B’

3) AC(s=R

4) BC(s=Q

5) A’R, B’Q

6) A’R(B’Q=C’

7) CC’ - искомая прямая.
3) Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы
Формулировка обратной теоремы Дезарга.
Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и
А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то
СС’||AA’.
По этой теореме СС’- искомая прямая.

№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, p(AD=M, p(AC=P, q(BD=N, q(BC=Q. Доказать, что точка MN(PQ лежит на прямой
АВ.
Требуется доказать, что MN(PQ(AB=K.
Решение:
Рассмотрим треугольники
МРА и NQB.
МР(NQ=S(, так как p||q. (p(q=S()
PA(BQ=C
AM(BN=D
DC||p||q ( DC(p(q=S( ( C,D,S(( одной прямой по теореме обратной теореме
Дезарга MN(PQ(AB=K.
Тем самым доказали, что точка МN(PQ(AB.
№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()Р(CD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l.
1) Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.

2) Построение:

1) NP, AC

2) NP(AC=S

3) MS(BC=K

4) KP- искомая прямая.
3) Доказательство: треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как AN(CP=R( (AN||CP), CK(AM=Q(
(CK||AM) то по теореме Дезарга KP(NM=F( ( KP||NM.

Список литературы
1. Р. Хартсхорн «Основы проективной геометрии».-М:Мир,1970.
2. Ефимов «Высшая геометрия»-:Наука,1971.
3. Франгулов С.А. «Лекции по проективной геометрии»-Л:ЛГПИ,1975.
4. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. «Пособие по проективной геометрии»-

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые работы бесплатно, мир докладов.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата