|
в)
|
В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами: an+1 =
2an + 2cn.
|
|
г)
|
В C можно попасть из A одним способом и из C — двумя: cn+1 = an + 2cn.
|
|
д)
|
В E можно попасть из C двумя способами: e2n = 2cn–1.
|
Как
же найти явную формулу для an и cn? Запишем наше рекуррентное соотношение (7)
так:
|
an+1 + cn+1√2 = (an + cn√2)(2 + √2)
|
(8)
|
и
— как вы уже, конечно, догадались — ещё так:
|
an+1 – cn+1√2 = (an – cn√2)(2 – √2).
|
(9)
|
Отсюда
по индукции, пользуясь (7), получаем:
|
an + cn√2 = (2 + √2)n–1 (a1 + c1√2) = (2 + √2)n,
|
|
an – cn√2 = (2 – √2)n–1 (a1 – c1√2) = (2 – √2)n.
|
Поэтому
|
cn =
|
(2 + √2)n – (2 – √2)n
2√2
|
,
|
а
так как e2n = 2cn–1, получаем окончательно
Главная