Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

де f1(х) — многочлен степеня, на одиницю нижчий від степеня многочлена f(x). Старший коефіцієнт многочлена f1(x) збігається з старшим коефіцієнтом даного многочлена fix).

Справді, поділимо f(x) на х — α1   і   частку   позначимо   через f1(х), а остачу через r. За теоремою Безу r = f(α1), але

f(α1) ≡ 0 (mod p)

за умовою, тоді конгруенцію

f(x) = (x – α1) f1(x) + f(α1) ≡ 0 (mod р)

можна переписати так:

f(x) ≡ (x-α1)f1(x) (mod p).

При цьому кажуть, що f(х) ділиться на х — α1 за модулем р. Очевидно, що й навпаки: з конгруенції (2) випливає, що f(α1) ≡ 0 (mod p) тобто α1 — корінь конгруенції (1); отже, маємо такий висновок.

Висновок. Конгруенція (1) має корінь х = α1 тоді і тільки тоді, коли ліва її частина f(x) ділиться на х — α1 за даним модулем р.

Зауважимо, що теорема 3 і висновок з неї справедливі і для складеного модуля т.

Теорема 4. Якщо α1, α2, . . , αk (k ≤ n) є різні розв'язки конгруенції (1), то має місце тотожна конгруенція:

f (х) ≡ (х – α1) (х - α2) . . . (х - αk) fk (x)  (mod p),                (3)

де степінь f (х) дорівнює п — k і старші коефіцієнти у f(x) і fk(x) однакові.

Справді, згідно, з теоремою 3 конгруенція (1) еквівалентна конгруенції

(x - α1)f1(x) ≡ 0 (mod p).                                 (21)

Через те що α2 є розв'язок конгруенції (1), то, підставляючи його в еквівалентну конгруенцію (2'), дістанемо тотожну конгруенцію:

(α2 — α1)f1(α2) ≡ 0 (mod р).

Але добуток двох чи кількох чисел ділиться на просте число р тоді і тільки тоді, коли на р ділиться принаймні один з співмножників. За умовою α1 і α2 різні, тобто

α1≠α2 (mod p),

отже, α2 — α1 не ділиться на р, а тому f1(α2) ділиться на р, тобто    f1(α2) ≡ 0 (mod p); останнє означає, що α2 — розв'язок конгруенції f1(x)≡0 (mod p). За теоремою 3 дістанемо:

f1(х)≡ (x-α2)f 2(x) (mod p);

звідки

f(x)≡(x-α1)(x-α2)f2(x) (mod p).

Аналогічно міркуючи, кінець кінцем прийдемо до тотожної конгруенції (3). З самого процесу одержання многочленів f1(x), f2(x),… fk (x) видно, що старші коефіцієнти цих многочленів однакові і дорівнюють старшому коефіцієнтові a0 многочлена f(x).

В и с н о в о к. Якщо конгруенція (1) п-го степеня за простим модулем р (п можна вважати не більшим за р — 1) має п різних розв'язків α1, α2, . . , αn, то має місце тотожна конгруенція:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпаргалки по гражданскому, організація реферат.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата