Теорема Штольца Содержание работы: Формулировка и доказательство теоремы Штольца. Применение теоремы Штольца: ; нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ; ; . Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры: Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты, банк курсовых работ бесплатно.





1  2  3  4 | Следующая страница реферата