
Теория цепных дробей
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: республика реферат, дипломная работа по праву
| Добавил(а) на сайт: Ven'jamin.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 | Следующая страница реферата
где >1, т.к.
Поэтому и здесь . Докажем то, что рациональное число
однозначно представляется цепной дробью
,
если
.
Пусть с условием
,
. Тогда
, так что
. Повторным сравнением целых частей получаем
, а следовательно
и так далее. Если
, то в продолжении указанного процесса получим также
. Если же
, например
, то получим
, что невозможно.
Теорема доказана.
Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.
Замечания:
В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент

Пример: , а так как
, то
.
Пример: 5=(5); .
Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь
.
При этом основную роль играют дроби вида:
или
которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа
.
Заметим, что =
=
. Считается, что подходящая дробь
имеет порядок k.
Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в
, если в первой заменить
выражением
.
Имеем ,
,
, …,
при этом принимается, что ,
,
,
,
,
и так далее.
Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя
и знаменателя
), сохраняется при переходе к
и сохранится также при переходе от k к (k+1).
Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где , имеем
(1),
причем (2)
(3)
Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму
.
Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей
подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовая работа по учету, дипломная работа по праву.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 | Следующая страница реферата