Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата



Округляя десятичное выражение действительного до n–го знака после запятой, мы тем самым представляем приближенно дробью со знаменателем , причем погрешность , если же подходящая дробь к , то , так что при сколько-нибудь значительном q величина во много раз меньше, чем .

Пример: Десятичное выражение числа в виде рациональной дроби со знаменателем имеет вид . Если же разложить в цепную дробь, получается =(3, 7, 15, …);

Наибольшей подходящей дробью для со знаменателем является число , известное уже Архимеду, причем . Итак, мы получили, что приближение подходящей дробью дает большую точность, чем приближение десятичной дробью.

Это объясняется тем, что знаменатели подходящих дробей определяются арифметической природой изображаемого числа, а знаменатели же приближающих десятичных дробей не могут быть иными, как только .

Теорема: Если рациональное число ближе к действительному числу , чем его подходящая дробь , где k>1, то , то есть если , то .

Доказательство: Рассмотрим случай, когда (иначе теряет смысл). Тогда всегда лежит между любыми двумя последующими подходящими дробями так, что для k>1 всегда лежит между и , причем ближе к , чем к . Поэтому, если ближе к , чем , то оно находится между и . В случае четного можно записать << (в случае нечетного k доказательство существенно не меняется), откуда , или , , откуда, домножая неравенство на , получаем . Так как – число целое и положительное, то из предыдущего равенства следует , что и требовалось доказать.

Попутно мы установили, что любая рациональная дробь , принадлежащая интервалу , k>1, имеет знаменатель . Для k=1 теорема неверна:

может оказаться ближе к , чем его подходящая дробь , хотя .

Доказанная теорема приводит нас к следующему определению:

Рациональную дробь называют наилучшим приближением действительного , если любая более близкая к рациональная дробь имеет больший знаменатель, чем , то есть если из следует d>b.

Таким образом, подходящие дроби являются наилучшими приближениями, например, Архимедово число для является наилучшим приближением.

Ранее мы доказали, что для оценки погрешности , возникающей при замене любого действительного его подходящей дробью , можно пользоваться неравенством . Выразим этот результат по отношению к действительному иррациональному , имеющим бесконечное множество подходящих дробей, следующим образом: для любого действительного иррационального существует при c=1 бесконечное множество несократимых дробей таких, что (1).

Такими дробями являются, например, все подходящие дроби для .

Возникает вопрос: При каких меньших значениях c (чем c=1) существует для любого действительного иррационального бесконечное множество (несократимых) рациональных приближений , погрешность которых .

Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что (). Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к .

Доказательство: Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим две последующие подходящие дроби к и . Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству (). Тогда имеем: , . Отсюда .

Но так как лежит между и , то , вследствие чего , или , а это для k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать.

Для доказательства второй части теоремы докажем достаточный признак подходящей дроби к действительному числу : если , где Q>0, несократимая дробь и для действительного имеет место неравенство (), то является подходящей дробью к .

Доказательство: Покажем, что если =()= ( удовлетворяет условию теоремы) подходящая дробь к , то соответствующее остаточное число разложения данного в цепную дробь окажется >1. Действительно, , откуда следует , так как .

Теорема доказана полностью.

Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут существовать подходящие дроби для , которые ему не удовлетворяют.

Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля:

Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство

, ()

если же , то существуют такие действительные иррациональные , для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных решений .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: таможенные рефераты, изложение по русскому языку 7.

Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата