
Теория цепных дробей
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат суды, доклад
| Добавил(а) на сайт: Разуваев.
Предыдущая страница реферата | 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | Следующая страница реферата
Доказательство: Докажем первую часть. Разложим



,
,
(2)
и
расположены по разные стороны от
и поэтому при нечетном k из (2) следует
,
а при четном: , так что и в том, и в другом случае имеем:
, или, умножая на и перенося все члены в одну сторону
, то есть
,
, или, поскольку
и
целые,
. (3)
Так как и
также расположены по разные стороны от
, из (2) аналогично получаем:
. (4)
Пользуясь еще тем, что из (3) и (4) получаем:
.
Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей ,
,
, взятой в качестве
, должно выполняться неравенство (
).
Придавая k различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству ().
Докажем вторую часть.
Предположим, что при ,
неравенство (1)
удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел
. Тогда для каждой такой дроби неравенства
, откуда, подставляя значение
, получаем
, а возводя в квадрат, получаем:
. Так как
, то при достаточно большом Q будем иметь:
и, следовательно, целое число
,
=
, что при целых P и Q не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел
. Теорема доказана полностью.
Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида , был доказан Борелем в 1903 году.
Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.
Рассмотрим для этого уравнение , где
– любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел x(x>0) и y, чтобы:
или
.
Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для всегда существует бесконечное множество таких пар; если же
, то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество.
Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.
§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида с целыми коэффициентами.
Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями.
Число называется квадратической иррациональностью, если
– иррациональный корень некоторого уравнения
(1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.
При таком , очевидно, будет a
0, c
0. Коэффициенты a, b, c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения
будем называть также дискриминантом
. Корни уравнения (1) равны
и
, так что любую квадратическую иррациональность
можно представить в виде
, где P, Q – целые, а D (D>1) – целое неквадратное число.
Второй корень уравнения (1)
будем называть иррационал
ьностью,
сопряженной с .
В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений
, x-
=0.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: таможенные рефераты, изложение по русскому языку 7.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | Следующая страница реферата