Теория игр и принятие решений.

В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений: а) в условиях риска; б) в условиях неопределённости; в) в условиях конфликта или противодействия (активного противника).

Часть 1. Теория полезности и принятия решений.

Глава 1. Принятие решений в условиях риска.

(1. Критерий ожидаемого значения.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты).
Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х( случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x1,x2,...,xn ( значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их
(выборочное среднее) значений [pic] имеет дисперсию [pic]. Таким образом, когда n ( (
[pic]( 0 и [pic]( MX.

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент (риска(.

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных
ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.

Пусть рt ( вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а nt ( случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С1 ( затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С2 ( затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если
ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = [pic], где M(nt) ( математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как nt имеет биномиальное распределение с параметрами (n, pt), то
M(nt) = npt . Таким образом

ОЗ = [pic]

Необходимые условия оптимальности T* имеют вид:

ОЗ (T*-1) ( ОЗ (T*),

ОЗ (T*+1) ( ОЗ (T*).
Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С1 = 100; С2 = 10; n = 50. Значения pt имеют вид:

| | |[pic| |
|T |рt |] |ОЗ(Т) |
|1 |0.05|0 |[pic] |
|2 |0.07|0.05|375 |
|3 |0.10|0.12|366.7 |
|4 |0.13|0.22|400 |
|5 |0.18|0.35|450 |

T*( 3 , ОЗ(Т*) ( 366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T*=3 интервала времени.

(2. Критерий (ожидаемое значение ( дисперсия(.

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций .

Если х ( с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое [pic] имеет дисперсию [pic], где n ( число слогаемых в [pic]. Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что [pic] близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.

Пример 2. Применим критерий (ожидаемое значение ( дисперсия( для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию зТ = [pic]
Т.к. nt, t =[pic] ( с.в., то зТ также с.в. С.в. nt имеет биномиальное распределение с M(nt) = npt и D(nt) = npt(1(pt).
Следовательно,