Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения :

откуда получаем .

Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения  и . При  решения  монотонно убывают от  до 0, а при  решения  монотонно возрастают от  до бесконечности. Так как , то отсюда следует, что при  и  все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности  к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, у которых . Если , то -предельное множество траектории пусто. Окружность  является замкнутой траекторией и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

Рассмотрим автономную линейную однородную систему  (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,

где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1)  вещественны, различны и . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими  или . При  и

.

Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

2)  вещественны и . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

3)  комплексно-сопряженные. Пусть . В преобразовании X = SY , где  и  — линейно независимые собственные векторы, соответствующие  и . Так как А вещественна,  и  можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и . Положим , , а в качестве фазовой плоскости возьмем . Переменная  связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где , . Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты , или , . Имеем: . Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

.

Следовательно, . При  траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При  все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.

4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

   

Решением этой системы будет функция . В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по физике, работа реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата