Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

 называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

  ,     (3)

где  — решение уравнения (1) с начальными данными .

Определение. Функция Ляпунова , не зависящая от t, называется определенно-положительной, если в области G при  . Функция Ляпунова  называется определенно-положительной, если существует определенно-положительная функция  такая, что . Функция Ляпунова  называется определенно-отрицательной, если  — определенно-положительная функция.

Определение. Функция Ляпунова  называется положительной, если  в области G и отрицательной, если  в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматривать и как положительную, и как отрицательную.

Отметим следующее свойство определенно-положительных и определенно-отрицательных функций: если , то .          (4)

Импликация  в (4) вытекает непосредственно из определения функций Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию , рассмотрим произвольную последовательность , , для которой  при . Покажем, что  при . Предположим, что это неверно. Тогда найдется подпоследовательность  и положительное число  такие, что . Согласно определению , где  — определенно-положительная функция. Положим . Множество  компактно, поэтому по теореме анализа , где , следовательно, . Тогда , что противоречит свойству последовательности .

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение  уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Пусть  — произвольная положительная постоянная, . Положим  при . Так как V определенно-положительная, то . По l найдем  такое, чтобы . Рассмотрим решение  при . Покажем, что

  .   (5)

Пусть (5) не имеет места. Тогда существует  такое, что , а при  . В силу (3) и условия теоремы функция  является при  невозрастающей функцией t. Так как , то , тогда тем более , что противоречит определению T и тому, что . Таким образом, импликация (5) имеет место, а это и означает по определению устойчивость решения  по Ляпунову. Теорема доказана.

Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно-положительный интеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение  устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV определенно-отрицательная при . Тогда решение  уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, и решение  устойчиво по Ляпунову. Следовательно, существует  такое, что

   при .           (6)

Из определения асимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию  при . В силу (3) и условия теоремы  — строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

  .           (7)

Отсюда, из (6) и (4) следует, что при  . По условию теоремы , где  — определенно-положительная функция. Пусть . Из (3) следует, что при всех  , что противоречит определенной положительности . Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество  не содержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия . Тогда решение  асимптотически устойчиво.

Доказательство. Используем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть  — -предельная точка траектории . Из определения -предельной точки и (7) следует, что . По первому свойству предельных множеств (п. 1.3.) все точки траектории  являются -предельными для траектории . Следовательно, для всех t, при которых определено решение , . Отсюда и из (3) следует, что при указанных t , что противоречит условию теоремы, так как  не совпадает с началом координат. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы , где  удовлетворяют условию Липшица при ,  удовлетворяет условию  при  и  при . Докажем, что положение равновесия  асимптотически устойчиво.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по физике, работа реферат.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата