Устойчивость систем дифференциальных уравнений

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: курсовые работы, скачать сочинение
| Добавил(а) на сайт: Глинин.

Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы .

В силу условия V —определенно-положительная функция, при этом

Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при . Так как при при , то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия .

По теореме 3 решение системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть — функция Ляпунова. Обозначим через любую связную компоненту открытого множества с началом координат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова такая, что не пусто и при . Тогда решение уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть . Будем рассматривать решения с начальной точкой . Достаточно показать, что для каждого из этих решений можно указать момент T (для каждого решения свой) такой, что .

Пусть это неверно, т. е. существует решение , удовлетворяющее при всех неравенству . Покажем, что траектория решения принадлежит при . Действительно, по определению она может покинуть область только через ту часть ее границы, где . Но это невозможно, так как и при возрастании функция строго возрастает, пока , в силу (3).