Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения

              (10)

и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.

Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части,  — определенно-отрицательная квадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение , являющееся определенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Пусть матрица A имеет собственные числа с положительными вещественными частями. Тогда можно подобрать  такое, что существует единственное решение  уравнения

,

причем если  — определенно-положительная квадратичная форма, то область  для квадратичной формы  непуста.

Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого

             (11)

где  удовлетворяет условию

         (12)

равномерно по .

Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части и  удовлетворяет условию (12), то решение  уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).

Пусть  — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению

.

По лемме 2  определенно-положительная. Определим ее производную DV в силу уравнения (1). Из (2) и (11) имеем: . Отсюда получаем:

  .     (13)

Из (12) следует, что для любого  можно указать  такое, что при   выполняется . Так как  — квадратичная форма, то , , и . Очевидно также, что . Из (13) и записанных неравенств следует, что . Следовательно, DV — определенно-отрицательная функция при  , если a выбрать по . Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда следует, что решение  уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.

Теорема 6. (см. теорему 6 п. 2.6). Если среди собственных чисел матрицы имеются такие, вещественные части которых положительны, и выполнено условие (12), то решение  уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. С помощью леммы 3 построим квадратичную форму , удовлетворяющую уравнению , и такую, что область  для функции V непуста. Составим DV в силу уравнения (1). Имеем

.

Используя (12), как и при доказательстве теоремы 5, покажем, что если a достаточно мало, то при   функция . Следовательно, так как в области  , то при ,  имеем . Таким образом, выполнены все условия теоремы 4, откуда и следует, что нулевое решение уравнения (1) неустойчиво. Теорема доказана.

Список литературы

Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей. Новосибирск: Наука, 1987.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по физике, работа реферат.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата