Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

[pic]

для некоторых непрерывных, строго положительных функций [pic].

Доказательство : Первое утверждение может быть доказано посредством рассмотрения отображения ограниченной функции [pic] на вектор [pic], определяемый путем

[pic] (А1)

То, что [pic] имеет равномерное ограничение от ноля означает, что для некоторого [pic]для всех [pic]. Поскольку Функции [pic] являются линейно- незазисимыми функциями на К и, так как каждая окрестность каждой точки в К содержит множество со строго положительной мерой, то отсюда следует, что отражением множества ограниченных [pic]-полиномов

[pic] (А2)

при /A1/, является окрестность О. Поэтому отражением

[pic] (А3)

является подмножество Е, которое находится в окрестности [pic].

Следовательно, [pic].

Второе утверждение может быть доказано посредством рассмотрения множества [pic] корреляционных векторов, соответствующих функциям спектральной плотности, которые являются интегрируемыми, непрерывными и строго положительными /следовательно, с ограничением от нуля/,

[pic]

[pic] является выпуклым и, из доводов, приведенных выше, следует, что
[pic]- открыто. Легко показать., что векторы [pic] для [pic] находятся в замыкании [pic]. Из теоремы Каратеодори [16] следует, что каждый [pic] может быть записан в виде положительной суммы 2М + I таких [pic]. Поскольку каждый [pic] находится в замыкании [pic], то отсюда следует, что каждый
[pic] находится там же. Поэтому замыканием [pic] является Е. Два открытых выпуклых множества с одинаковым замыканием должны быть идентичными.
Поскольку Е находится в замыкании как [pic], так и [pic], то отсюда следует, что [pic]

Приложение В

Теорема представления

Теорема представления раздела IУ-А является простым распространением теоремы Каратеодори [16] для корреляционных векторов на границе Е с использованием теоремы о продолжимости. Это обобщение "теоремы С"
Каратеодори [9, гл. 4] для многократных измерений. Ввиду вывода метода
Писаренко в разделе 1У, как линейной программы, теорема представления может также рассматриваться, как вид фундаментальной теоремы линейного программирования. [l8].

Теорема представления: Если [pic] находится на границе Е, то для некоторых 2М неотрицательных [pic] и некоторых [pic]:

[pic] (В1)

Доказательство: Рассмотрим компактное выпуклое множество [pic], которое является выпуклой оболочкой [pic]. По теореме Каратеодори,. любой элемент в Е может быть выражен в виде выпуклой комбинации 2М+1 элементов А

[pic] (B2)

при [pic] и [pic]. Если одно из [pic] равно нулю, доказательство завершено. Иначе, поскольку [pic] находится на границе [pic], имеется некоторый ненулевой [pic], такой что

[pic] (В3)

Итак, для каждого [pic], [pic] должны быть линейно зависимыми, следовательно имеются некоторые [pic], не все нули, так что [pic]. Пусть
[pic] является числом с наименьшим значением, так что [pic] для некоторого
[pic].

Тогда

[pic](B4)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа методика, диплом вуза, скачать дипломную работу на тему.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата