Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Один из этих коэффициентов равен нулю, что делает равным это выражение сумме только 2М членов. Признание того, что любой элемент Е является масштабированной версией элемента [pic], завершает доказательство.

Отметим, что для случая временной последовательности, [pic] может быть выражен в виде суммы не более, чем М комплексных экспоненциалов, в то время, как вышеприведенная теорема гарантирует только представление в терминах 2М экспоненциалов, Это не недостаток доказательства, а подлинная особенность проблемы, как показывает следующий одномерный пример.

Пример BI : [pic]. Предположим, что [pic] находится на прямой части границы и, как показа- но на рис.7. Ясно, что [pic] имеет единственное представление в виде выпуклой суммы членов А в терминах двух корреляционных векторов, соответствующих [pic] и [pic],

[pic]

Приложение С

Единственность оценки Писаренко

Как обсуждалось в разделе IУ-А, опенка Писаренко является единственной, если один и только один спектр может быть связан с каждым корреляционным вектором на границе Е. Тривиальные проблемы единственности появляются в результате, если два отдельных [pic] в [pic] приводят к одному и тому же [pic]. В -более общем смысле рассмотрим множество корреляционных векторов, соответствующих нулевому множеству некоторого ненулевого положительного полинома [pic]

[pic] (С1)

Любой вектор [pic], который превращает в ноль внутреннее произведение с р ,может быть выражен в виде суммы положительных составляющих векторов из множества [pic]. Отсюда следует, что если это множество является линейно независимыми, то представление единственно. И наоборот, если это множество линейно зависимо, то можно построить [pic] на границе Е, который имеет более одного спектрального представления. Если множество линейно зависимо, то имеется конечная совокупность ненулевых вещественных чисел [pic] и
[pic], таких что

[pic] (С2)

Поскольку [pic] для всех [pic], то должно быть, по крайней мере, одно
[pic] - строго положительное и одно - строго отрицательное. Итак,

[pic] (С3)

является ненулевым вектором корреляции на границе Е с, по крайней мере, двумя спектральными представлениями.

Поэтому оценка Писаренко является единственной тогда и только тогда, когда множество корреляционных векторов, соответствующих нулю каждого ненулевого положительного полинома, линейно независимо. В частности, чтобы оценка Писаренко была единственной, никакой ненулевой положительный полином не может иметь более 2М нулей, это условие подобно, хотя и не так строго, условию Хаара [23], которое включает все полиномы, а не только положительные.

Факторизация полиномов в случае временной последовательности дает сильный результат. В случае временной последовательности ненулевой положительный полином может иметь не более М нулей. Кроме того, ненулевой положительный полином может быть построен так, что он равен нулю в М или менее произвольных точках и больше нигде. Это означает /Пример 4.I/ , что корреляционный вектор в [pic] имеет единственное спектральное представление и что этот спектр состоит из и или менее импульсов. Кроме того, это означает, что любой спектр, состоящий из М или менее импульсов, имеет корреляционный вектор в [pic].

Однако, простой пример показывает,, что нет гарантии того, что оценка
Писаренко будет единственной в большинстве многомерных ситуаций. Рассмотрим ненулевой положительный полином

[pic] (С4)

для некоторого ненулевого [pic]. Нулевое множество [pic] включает часть гиперплоскости

[pic] (С5)

которая находится в К. Многие спектральные основы, имеющие практический интерес, пересекают эту гиперплоскость в бесконечном числе точек, подразумевая существование некоторого корреляционного вектора на границе Е с неединственным спектральным представлением. Эта проблема неединственности аналогична неединственности в многомерной чебышевской аппроксимации [24].

ИЛЛЮСТРАЦИИ

[pic]

Рис.1 ПИП из трех ИП

[pic]

Рис.2 Спектральная основа для решетки ПИП : I - основа

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа методика, диплом вуза, скачать дипломную работу на тему.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата