Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Продолженная оценка Писаренко будет получена как решение задачи оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.
Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но оно может быть не единственным. Получается задача двойственной' оптимизации, которая для случая временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов. И опять, решение этой двойственной задачи существует всегда, но может быть не единственным.

Рассматриваются алгоритмы для вычисления по методу Писаренко.
Основная задача оптимизации записывается, для спектральной основы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейной программы стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода для решения этой основной линейной программы. Представлена двойственная линейная программа.
Рассматриваются также возможность создания вычислительных алгоритмов, более быстрых, чем симплекс-метод.

1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков

Основой метода Писаренко является однозначное разложение /рис.6/ корреляционного вектора [pic] на сумму масштабированного вектора корреляции шума [pic], во внутренней части Е, и остаток [pic] на границе Е

[pic] (4.1)

Допущение о том, что [pic] находится в [pic] подразумевает, что такое разложение произвольного вектора [pic] существует и единственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство корреляционных векторов

[pic] (4.2)

Для [pic] достаточно положительного [pic] не должен быть продолжаемым, а для [pic] достаточно отрицательного [pic] должен быть продолжимым, так как допущение, что [pic] подразумевает, что Е содержит окрестность [pic].
Выпуклость Е означает, что имеется некоторое наибольшее число [pic], такое, что [pic] является продолжимым. Поскольку имеются произвольно близко к
[pic] непродолжимые векторы, [pic] должен быть на границе Е. Кроме того, поскольку [pic]тогда и только тогда, когда [pic] продолжим, это разложение
[pic] может 'быть использовало в качестве теста продолжимости.

Это однозначное разложение [pic] может быть сформулировано в виде основной задачи линейной оптимизации на всех положительных спектрах мощности. Отметим, что [pic] имеет по крайней мере , одно положительное спектральное представление [pic] и, что из /4.1/ для [pic] следует

[pic] (4.3)

Утверждение того, что [pic] является наибольшим числом, так что остаток
[pic] продолжаем, приводит к линейной задаче оптимизации

[pic] (4.4з)

так что

[pic] (4.45)

Максимум равен [pic] и он достигается [pic].

Поскольку [pic] продолжаемо, оно соответствует некоторой положительной мере [pic]. Следовательно /4.1/ принимает вид

[pic] (4.5)

Если [pic], то [pic] является положительной мерой, которая согласует корреляционные измерения и которая имеет наиболее возможную шумовую компоненту.

Некоторая дополнительная информация относительно остатка [pic] и его спектрального представления может быть получена. [pic] находится на границе
Е; следовательно, он дает нулевое внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом

[pic] (4.6)

Из этого следует, что основа [pic] должна быть на нулевом множестве [pic].
Или более точно, основа любого спектрального представления [pic] должна быть на пересечении нулевых множеств всех положительных полиномов, которые образуют нулевое внутреннее произведение с [pic]. Это предполагает окончательный шаг в выводе метода Писаренко; а именно, объединение остатка
[pic] с импульсным спектром. ^ .

Тот факт, что целевой функционал основной задачи оптимизации не является строго выпуклым, допускает, что решение не может в общем случае быть единственным. Решение [pic] основной задачи оптимизации всегда единственно тогда и только тогда, когда корреляционный вектор на границе Е имеет единственное спектральное представление. В случае временной последовательности каждый такой [pic] имеет единственное спектральное представление, как сумма М или меньшего числа импульсов[5].

Пример 4.1: Случай временной последовательности, [pic]. Как и в примере 3.1, каждый положительный полином может быть факторизован в виде
[pic] для некоторого тригонометрического полинома М-той, степени [pic] и следовательно [pic] могут быть равными нуля не более, чем в М точках.
Спектр [pic], следовательно, должен быть суммой импульсов в этих точках.
Кроме того, поскольку возможно построить положительный полином, который равен нулю в [pic] произвольно выбранных точках и нигде больше, то отсюда следует, что [pic] имеет единственное спектральное представление в виде суммы импульсов в общих нулях всех положительных полиномов [pic] так что
[pic].

В более широком смысле, теорема продолжимости совместно с теоремой
Каратеодори [16] показывает, что имеется по крайней мере одно спектральное представление [pic] в виде суммы не более чем 2М импульсов.

Теорема представления: Если [pic], то существует [pic] и [pic], так что

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа методика, диплом вуза, скачать дипломную работу на тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата