Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic] (3.3)

Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать [pic]- полином: [pic], где [pic] обозначает вектор с компонентами [pic]. Отметим также, что если [pic], то [pic], что cooтветствует выражению соотношению
Парсеваля.

1.2.3 Характеристики продолжаемости

Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть [pic], если

[pic] (3.4)

для некоторой положительной меры [pic] на К. Из свойств интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат.
Кроме того, сечение по Е при [pic]:

[pic] (3.5) является выпуклой оболочкой компактного множества

[pic] (3.6) является выпуклой оболочкой компактного множества
Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно в доказательствах.

Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества

[pic] (3.7)

Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е, достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда [pic] для каждого [pic] и каждого [pic].
Поскольку [pic] можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что [pic], т.е. q - член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее
Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,

[pic] (3.8)

или, словами, следующее.

Теорема о продолжимости : .вектор [pic] является продолжимым тогда и только тогда, когда [pic] для всех положительных p.

Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р - положительные сопряженные конусы.[10]. Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой характеристики Р, в терминах положительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристика продолжимости была первоначально использована
Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].

Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы.
Существуют две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А; поскольку К уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3.
Косвенная точка зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает множество P посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается.

Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности.

Пример 3.1 : Случай временной последовательности; D=1, [pic].B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для случая временной последовательности, как следует из фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома

[pic].

Внутреннее произведение [pic] становится теплицевой формой в коэффициентах
[pic]

[pic]

Таким образом, требование того, чтобы внутреннее произведение [pic] было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям.

1.3 Граница и внутренняя часть

Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е и P являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу максимальной энтропии
[l4].

Граница замкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся на границе. .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа методика, диплом вуза, скачать дипломную работу на тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата