Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (х0, у0) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рис. 1.14), уравнение которой определяется по формуле:

[pic], где [pic] и [pic] - частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения (х = х - х0 и (у = у - у0.

Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным ([pic], [pic],
[pic] и т.д.).

Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.

3xy - 4x2 + 1,5[pic]y = 5[pic] + y

Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1, [pic]= 0,
[pic]= 0. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения в ДУ:

3у0 - 4 + 0 = 0 + у0 откуда у0 = 2.

Введем в рассмотрение функцию

F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y

и определим все ее производные при заданных начальных условиях:

[pic] = (3у - 8х[pic]= 3*2 - 8*1 = -2,

[pic] = (3х + 1,5x’ - 1[pic]= 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,

[pic] = (1,5у[pic]= 1,5*2 = 3,

[pic] = -5.

Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:

-5.(y’ + 2.(y + 3.(х’ - 2.(х = 0.

(

2.5. Преобразования Лапласа.

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

[pic], (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

[pic] и [pic], (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по русскому класс, контрольная работа 8.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата